6.2.2.3 Представление решения краевой задачи теплопроводности в виде ряда Фурье

На основании изложенного выше становиться понятно, что существует бесконечное счетное множество частных решений исходной краевой задачи теплопроводности (6.12) – (6.15) вида (6.12а), каждое из которых имеет представление

, n = 1, 2, … . (6.12b)

Если воспользоваться известным в теории решения дифференциальных уравнений приемом, согласно которому общее решение дифференциального уравнения ищется в виде линейной комбинации всех линейно независящих друг от друга частных решений, то общее решение краевой задачи (6.12) – (6.15) можно записать

,

где постоянные коэффициенты, линейно независящие друг от друга частные решения вида (6.12b).

Принимая во внимание (6.12b), получаем

,

или

, (6.24)

где коэффициенты ряда Фурье (6.24), которые можно получить, воспользовавшись начальным условием (6.13). Подставив в (6.24), с учетом (6.13) получаем равенство

представляющее собой разложение начального условия в ряд Фурье.

Коэффициенты этого ряда легко находятся по формуле (6.23а), если в ней положить С учетом сказанного выше

. (6.24а)

Таким образом, решение исходной краевой задачи теплопроводности (6.12) – (6.15) имеет вид (6.24), коэффициенты которого определяются соотношением (6.24а).

Из теории математической физики известно, что решение краевой задачи теплопроводности (6.12) – (6.15) можно представить с применением так называемой функции Грина [1, 2, 16, 20, 21] в виде

(6.25)

где  – функция Грина четырех аргументов; безразмерные пространственная и временная координаты; пространственная переменная интегрирования; времен- ная переменная интегрирования, принимающая значение в формуле (6.25).

Для того чтобы найти функцию Грина, подставим выражение (6.24а) в решение (6.24). В результате получим

. (6.24b)

Сравнивая (6.24b) с (6.25), получаем функцию Грина

. (6.25а)

6.2.2.4 Сущность регулярного режима первого рода

Полученное выше решение (6.24) исходной прямой краевой задачи теплопроводности (6.12) – (6.15) представляет собой ряд Фурье, обладающий следующими свойствами:

1. ряд Фурье (6.24) является знакопеременным, т.е. знаки коэффициентов чередуются (если то и т.д.);

2. собственные значения быстро растут (по абсолютной величине) по мере увеличения номера n, например, в случае пластины толщиной при

что соответствует еще более быстрому росту , пропорциональному .

;

3. в силу последнего свойства собственных значений, знакопеременный ряд (6.24) быстро сходится, причем каждый последующий член ряда (6.24) стремится к нулю (по мере роста Fo) быстрее, чем предыдущий, т.е.

,

что графически проиллюстрировано на рис. 6.2, а.

Из изложенного выше следует (см. рис. 6.2, а), что всегда найдется такое значение , что при всеми членами ряда (6.24), кроме первого члена , можно пренебречь. Тогда для вычисления значений безразмерной температуры можно использовать первый член ряда (6.24):

. (6.24с)

Значение может быть вычислено, исходя из предположения, что отбрасывание второго члена ряда не должно вносить погрешность более 1 % от величины первого члена ряда, что дает уравнение

. (6.24d)

Рис. 6.2 Температурное поле в образце при регулярном режиме первого рода:

а – характер зависимости членов ряда (6.24) от числа Фурье Fo при ;

б – характер зависимости температуры от пространственной координаты образца внутри

В правой части последнего уравнения стоит знак "минус", так как и имеют разные знаки.

Положив в уравнении (6.24d), например, , получим

,

откуда следует

;

.

Например, в случае пластины при :

; ;

;

;

,

откуда получаем

.

Таким образом, при в середине пластины толщиной при всеми членами ряда (6.24) (кроме первого члена) можно пренебречь и вычислять температурное поле по формуле (6.24с).

Примечание. Рассмотренный выше случай определения при является наиболее жестким; при условие (6.24d) начинает выполняться при .

Характер зависимости температурного поля от пространственной координаты при значениях числа Фурье представлен на рис. 6.2, б. Видно, что при температурное поле внутри образца описывается первой собственной функцией и остается на протяжении всего регулярного режима первого рода подобным само себе, а именно:

,

где множитель, величина которого зависит от числа Фурье Fo.

Если прологарифмировать левую и правую части равенства (6.24с), то получим уравнение

,

представляющее собой уравнение прямой линии в системе координат ( ).

Подставив в последнее уравнение и , получаем

;

или , (6.26)

где темп охлаждения (нагревания) образца, который имеет смысл тангенса угла наклона зависимости (6.26), представленной графически на рис. 6.3 в полулогарифмических координатах и .

Из уравнения (6.26) и рис. 6.3 видно, что после наступления регулярного режима первого рода логарифм разности температур линейно зависит от времени , причем, тангенс угла наклона этой линейной зависимости (см. рис. 6.3) равен темпу охлаждения

.

Рис. 6.3 Изменение логарифма температуры во времени :

1 – при ; 2 – при ; 3 – при ; 4 – при

Отметим, что величина темпа охлаждения остается одной и той же для всех точек внутри образца.

Итак, для регулярного режима первого рода характерно следующее:

1) регулярный режим первого рода наступает при ; если принять, что плоский образец имеет толщину м и имеет коэффициент температуропроводности м²/с, получаем, что условию соответствует время наступления регулярного режима первого рода мин;

2) после наступления регулярного режима первого рода (при Fo > Fo^ = 0,18) распределение температуры по координате в образце (с относительной погрешностью не более 1 %) пропорционально первой собственной функции краевой задачи Штурма-Лиувилля (6.19) – (6.21), причем, это распределение температуры внутри образца остается подобным само себе на протяжении всего регулярного режима первого рода, т.е. при ;

3) после наступления регулярного режима первого рода (при ) зависимости от времени в полулогарифмических координатах, представляют собой прямые линии, тангенс угла наклона которых численно равен темпу охлаждения m и остается одним и тем же для любой координаты .