6.2 Метод регулярного режима первого рода

6.2.1 Преобразование исходной постановки задачи

к безразмерному виду

Рассмотрим теоретические и практические аспекты метода регулярного режима первого рода одновременно для всех трех возможных вариантов образцов простой формы в виде:

• сплошной неограниченной пластины (г = 0) толщиной 2R, симметрично обогреваемой с двух сторон;

• сплошного неограниченного цилиндра (г = 1) диаметром d = 2R;

• сплошного шара (г = 2) диаметром d = 2R.

Потребуем дополнительно, что температура греющей среды во всех точках внешних поверхностей пластины (цилиндра или шара) в момент времени  = 0 ступенчато изменяется по закону (6.6), а в последующие моменты времени остается по всей поверхности одинаковой. Тогда исходную постановку краевой задачи теплопроводности можно представить в виде (6.1) – (6.5), причем, для рассматриваемого нами метода регулярного режима первого рода в этой постановке задачи (6.1) – (6.5) должно быть задано к = 1.

Выполним процедуру преобразования краевой задачи (6.1) – (6.5) к безразмерному виду.

Перенесем начало температурной шкалы в точку Т = Т_с, где Т_с – температура греющей среды (см. формулу (6.6)), которая является постоянной и не зависит ни от времени τ, ни от координаты r. В результате получим новую переменную величину

, (6.11)

тоже имеющую физический смысл температуры. Однако, если = 35 °С, то при Т_с = 20 °С эта физическая переменная величина принимает значения 15 °С, так как начало отсчета температуры из точки Т = 0 °С было перенесено в точку T = T_с = 20 °C.

Если соотношение (6.11) поделить на постоянную величину (T₀ – T_с), то получим формальную запись безразмерной температуры, часто обозначаемой

, (6.11а)

где T₀ – первоначальная постоянная температура исследуемого образца; (T₀ – T_с) – характерная разность температур рассматриваемой краевой задачи (6.1) – (6.5) при к = 1.

Из соотношения (6.11а) легко получить

. (6.11b)

Принимая во внимание то, что T_с = const, (T₀  – T_с) = const, на основании (6.11b) получаем

;

,

что позволяет уравнение (6.1) записать в виде

; (6.1а)

, . (6.2а)

Если левую и правую части (6.1а) поделить на величину , то получим

; (6.1b)

, 0 < r < R. (6.2b)

Введем новые переменные: безразмерная координата, изменяющаяся в пределах , число Фурье, представляющее собой безразмерное время ( ).

После перехода от размерных координат r, τ к безразмерным и Fo, выражения (6.1b), (6.2b) примут вид:

; (6.1с)

, . (6.2с)

Воспользуемся (6.11b) для преобразования (6.3) к безразмерной записи:

; (6.3а)

; (6.3b)

. (6.3с)

Аналогично, для (6.4) получаем, что соответствует соотношение

. (6.4а)

Преобразуем (6.5)

Поделив это выражение на , получим

Умножив левую и правую части этого равенства на и приняв во внимание (6.11а), после перехода к безразмерным величинам и Fo получаем

, (6.5 b)

где критерий Био; – безразмерная температура греющей среды.

Учитывая тот факт, что в случае регулярного режима первого рода (к = 1) температура греющей среды изменяется по закону (6.6), имеющему вид

при  > 0 (что соответствует Fo > 0) получаем

,

после чего выражение (6.5b) принимает вид

(6.5с)

С учетом изложенного выше исходная краевая задача теплопроводности (6.1) – (6.5), после перехода к безразмерным переменным, при ступенчатом изменении температуры греющей среды по закону (6.6), что позволяет считать , приобретает вид:

; (6.12)

; (6.13)

; (6.14)

(6.15)

Отметим, что в случае задания граничных условий первого рода (6.5а) при граничное условие (6.15) принимает вид

(6.15а)

Если в процессе эксперимента измерены несколько (или хотя бы одна) температурных кривых

,

характеризующие температуры во внутренних точках образца с координатами

то краевая задача (6.12) – (6.15) может быть дополнена соотношениями

, i = 1, 2, …, (6.16)

где

,

где безразмерные температуры, легко рассчитываемые по экспериментально измеренным температурам Т₀, Т_с, , i = 1, 2, … .

Задача (6.12) – (6.16) является инверсной (обратной) краевой задачей теплопроводности, лежащей в основе рассматриваемого нами метода регулярного режима первого рода. В результате решения задачи (6.12) – (6.16) достаточно несложно получаются расчетные соотношения, используемые для вычисления искомых теплофизических свойств по опытным данным полученным в процессе эксперимента.