6.3.2.3 Математическая модель относительного варианта метода регулярного режима второго рода и устройства для его осуществления
Если к левой грани
образца 1 подводят постоянный во
времени тепловой поток
а правая грань медной пластины 2
адиабатизирована (
),
то математическая модель температурного
поля рассматриваемой системы (см. рис.
6.8, а) может быть записана в виде
прямой краевой задачи теплопроводности:
;
(6.48)
;
(6.49)
;
(6.50)
;
(6.51)
;
(6.52)
;
(6.53)
или
(6.54)
где
соответственно
температурные поля исследуемого образца
1 и медной пластины 2 в точках с
координатами
в моменты времени
;
толщина
исследуемого образца 1 и толщина
медной пластины 2;
начальная
температура образца 1
и пластины 2;
тепловой
поток, подводимый к левой грани исследуемой
пластины 1
в точке
коэффициенты
температуропроводности и теплопроводности
соответственно исследуемого материала
(
и
)
и меди (
и
),
из которой изготовлена пластина 2.
С использованием
известных методов математической физики
(метод разделения переменных, принцип
суперпозиции) можно получить точное
аналитическое решение прямой краевой
задачи теплопроводности (6.48) – (6.54).
В случае, когда теплопроводность меди
(
при комнатных температурах) в сотни и
даже тысячи раз превышают теплопроводность
теплоизоляционного исследуемого
материала
,
температурное поле
медной пластины 2 в каждый момент
времени можно
считать равномерно распределенным по
координате х (одинаковым во всех
точках
).
При этом предположении температурное
поле Т (х, )
исследуемого образца может быть
представлено в виде [3]:
(6.55)
,
(6.56)
где
K
– скорость изменения во времени
температуры медной пластины 2,
зависящая от величины теплового потока
геометрических размеров
и объемных теплоемкостей исследуемого
материала
и меди
Если по экспериментальным данным, получаемым в ходе эксперимента, вычислить скорость изменения температуры медной пластины 2
,
(6.57)
то на основании (6.56) получаем
откуда следует
расчетное соотношение для вычисления
объемной теплоемкости
исследуемого материала
(6.58)
по измеренным в
ходе эксперимента величинам теплового
потока
и скорости изменения температуры K
с учетом заранее известных значений
геометрических размеров
,
и объемной теплоемкости меди
Если в ходе
эксперимента измерить величину перепада
температуры
на исследуемом образце 1, то на основе
(6.55) легко получается расчетное соотношение
для вычисления теплопроводности
исследуемого материала.
Рассмотрим вывод
этого расчетного соотношения. Подставив
и
в формулу (6.55), получаем
;
Тогда измеренный в ходе эксперимента перепад температуры на исследуемом образце 1 толщиной будет равен
откуда следует расчетное соотношение
, (6.59)
позволяющее
вычислить искомую теплопроводность
исследуемого материала по измеренным
в ходе эксперимента значениям теплового
потока
и разности температур [
–
]
с учетом вычисленной по формуле (6.57)
скорости
изменения температуры и известных
величин толщины
и объемной теплоемкости
исследуемого образца (вычисленной по
формуле (6.58) по полученным в этом же
эксперименте данным).
На основании
приведенных выше расчетных соотношений
(6.58), (6.59) можно получить формулы для
вычисления предельных (
и
)
оценок относительных погрешностей
измерения объемной теплоемкости
и теплопроводности
исследуемого материала.