6.3.1.4 Математическая модель метода и устройства

при нагреве исследуемых образцов по линейному закону T(R, ) = T₀ + K

Математическая модель температурного поля Т (х, ) исследуемых образцов 1 и 1 (см. рис. 6.6) при осуществлении второго варианта (см. п. 6.3.1.2) активной стадии метода регулярного режима второго рода, когда поверхность исследуемых образцов изменяется по линейному закону T(R, ) = T₀ + K, имеет вид:

, ; (6.32а)

; (6.33а)

; (6.34а)

. (6.35а)

Все обозначения, использованные при записи краевой задачи теплопроводности (6.32а) – (6.35а), были пояснены в п. 6.3.1.3. Коэффициент K, входящий в (6.35а), имеет физический смысл скорости изменения температуры. Порядок экспериментального определения величины коэффициента K был рассмотрен в п. 6.3.1.3.

Решение прямой краевой задачи (6.32а) – (6.35а) имеет вид [1]:

(6.40)

где собственные значения краевой задачи Штурма-Лиувиля, возникающей при решении прямой краевой задачи теплопроводности (6.32а) – (6.35а); коэффициенты ряда Фурье в правой части (6.40).

После наступления регулярного режима второго рода при  > ^*, когда бесконечным рядом в правой части (6.40) можно пренебречь, формула упростится и примет вид

. (6.40а)

Если в процессе эксперимента осуществлять измерение разности температур

,

то на основании (6.40а) легко получается расчетное соотношение для вычисления коэффициента температуропроводности.

С использованием (6.40а) выразим измеряемую в ходе эксперимента разность температур

откуда следует расчетное соотношение

, (6.39а)

совпадающее с ранее полученной формулой (6.39).

К сожалению, при нагреве исследуемых образцов по линейному закону (6.35а) удается вычислить только коэффициент температуропроводности а.

Примечания. 1  При нагреве исследуемых образцов по линейному закону (6.35а) регулярный режим второго рода наступает значительно позже, чем в случае нагрева образцов равномерно распределенным тепловым потоком q по закону (6.35), рассмотренном в п. 6.3.1.3. Это объясняется следующими обстоятельствами. Если задать одинаковые допустимые относительные погрешности δ, при которых можно пренебречь бесконечными рядами в правых частях решений (6.36) и (6.40), то в первом приближении можно считать, что для ряда (6.36) должно быть выполнено условие

,

а для ряда (6.40) – аналогичное условие

.

После логарифмирования получим:

– для ряда (6.36)

;

– для ряда (6.40)

.

При одних и тех же значениях допустимых относительных погрешностей δ, часто задаваемых в пределах δ = 0,01…0,05, что соответствует δ  100 % = (1…5) %, получаем

или

.

Видно, что при втором варианте осуществления метода регулярного режима второго рода, момент времени , после которого можно пренебречь бесконечным рядом в правой части (6.40), в четыре раза превышает величину момента времени , после которого можно пренебречь бесконечным рядом в правой части решения (6.36) при первом варианте осуществления метода, рассмотренном в п. 6.3.1.3.

2 При втором варианте осуществления метода регулярного режима второго рода, когда внешние поверхности образцов 1 и 1 обогреваются по линейному закону (6.35а), на внешних поверхностях этих образцов 1 и 1 при устанавливается постоянная во времени величина теплового потока q = const, которую можно вычислить по формуле (6.30а) по результатам измерения напряжения питания U₂ и падения напряжения U₁ на образцовом сопротивлении R₀ (c учетом задания известных значений площади S электронагревателя и сопротивления R₀).

Если измерен тепловой поток q, то и при втором варианте осуществления метода регулярного режима второго рода можно использовать полученные в п. 6.3.1.3 расчетные соотношения (6.37) и (6.38) для вычисления объемной теплоемкости сρ и теплопроводности λ.