6 Нестационарные методы регулярных режимов первого, второго и третьего рода

6.1 Основные сведения о регуляризации температурных полей в образцах простой формы

При математическом моделировании процессов теплопереноса, проходящих в исследуемых веществах при измерении их теплофизических свойств с применением методов регулярных режимов первого, второго и третьего рода, предпочитают использовать образцы простой геометрической формы в виде неограниченной пластины (коэффициент формы г = 0), неограниченного цилиндра (г = 1) или в виде шара (г = 2). Для образцов простой формы математическая модель процессов теплопереноса применительно к методам регулярных режимов первого, второго и третьего рода может быть записана в виде:

; (6.1)

, ; (6.2)

; (6.3)

; (6.4)

, (6.5)

где температура в исследуемом образце в точке с координатой r в момент времени ; а, λ – температуропроводность и теплопроводность; первоначальное распределение температуры в образце; α – коэффициент теплообмена внешней поверхности исследуемого образца (при r = R) с окружающей средой, температура которой изменяется по закону , к – индекс, который, в зависимости от рода рассматриваемого регулярного режима, может принимать значения к, равные 1, 2 или 3.

При к = 1 получаем случай регулярного режима первого рода, когда температура окружающей среды изменяется по ступенчатому закону:

(6.6)

При к = 2, соответствующем регулярному режиму второго рода, температура окружающей среды должна изменяться по линейному закону:

, (6.7)

где b – коэффициент, определяющий скорость изменения температуры по времени; Т_н – начальная температура окружающей среды.

При к = 3 получаем случай регулярного режима третьего рода, когда температура окружающей среды изменяется по гармоническому закону:

, (6.8)

где Т_y – установившееся среднее значение температуры; A, ω – амплитуда и частота гармонических колебаний температуры.

Наиболее просто закономерности теплопереноса в исследуемых образцах могут быть представлены, если в краевой задаче (6.1) – (6.5) граничные условия третьего рода (6.5) заменить на граничные условия первого рода:

, (6.5а)

где функции, описывающие изменение температуры поверхности исследуемого образца во времени. В случае использования граничных условий первого рода в виде (6.5а) индекс к также может принимать значения 1, 2, 3, например:

1) при к = 1, когда (см. рис. 6.1, а) температура поверхности подчиняется закону

, (6.6а)

получаем математическую модель (6.1) – (6.4), (6.5а) метода регулярного режима первого рода; здесь символическая единичная ступенчатая функция [1, 16], определяемая следующим образом

2) при к = 2, когда (см. рис. 6.1, б) температура поверхности образа изменяется по линейному закону

, (6.7а)

краевая задача (6.1) – (6.4), (6.5а) представляет собой математическую модель метода регулярного режима второго рода;

3) при к = 3, когда (см. рис. 6.1, в) температура поверхности образца изменяется по гармоническому закону

, (6.8а)

краевая задача (6.1) – (6.4), (6.5а) превращается в математическую модель метода регулярного режима третьего рода.

На рис. 6.1 проиллюстрирован характер изменения температуры в различных точках исследуемых образцов. Видно, что при регулярном режиме первого рода температура во внутренних точках исследуемого образца через некоторое время начинает изменяться по экспоненциальным зависимостям.

При регулярном режиме второго рода (см. рис. 6.1, б) температура во внутренних точках исследуемого образца (после того, когда начальные условия (6.3) перестают влиять на температурное поле) изменяется по линейному закону.

Рис. 6.1 Характер изменения температуры в образце исследуемого материала при регулярном режиме:

a – первого, б – второго, в – третьего рода

Аналогично, при регулярном режиме третьего рода (см. рис. 6.1, в) температура во внутренних точках исследуемого образца (по истечении промежутка времени, после которого начальные условия (6.3) перестают влиять на температурное поле) изменяется по гармоническому закону с той же частотой ω, что и температура поверхности T (R, τ), причем,

,

где A_i , φ_i – амплитуды и сдвиги по фазе гармонических колебаний при r = r_i (i = 0, 1, 2, …).

Обычно считается, что при значениях числа Фурье Fо > (0,3 … 0,5) начальные условия (6.3) перестают оказывать влияние на температурное поле исследуемых образцов. Принимая во внимание что , получаем оценку длительности промежутка времени, по истечении которого в исследуемом образце наступает регулярный режим. Из условия следует, что .

При R = 10 мм = 1∙10^–2 м (R² = 1∙10^–4) м² и a = 1,00∙10^–7 м²/с получаем, что регулярный режим наступает при 500 с  8,3 мин.

Академик А.В. Лыков в своих работах ввел [1] общий признак регуляризации температурных полей, справедливый для всех трех видов регулярных режимов. Этим признаком является [1, 12] постоянство во времени величины темпа охлаждения (нагревания)

, (6.9)

вычисляемого по средней температуре

(6.10)

исследуемого образца. Напомним, что в формуле (6.9) использовано обозначение температуры окружающей среды , которая принимает значения функций (6.6), (6.7) и (6.8) соответственно при регулярных режимах первого (к = 1), второго (к = 2) и третьего (к = 3) рода.

Если рассмотреть общую математическую модель температурных полей в исследуемых образцах в виде краевой задачи (6.1) – (6.4), (6.5а), когда при r = R заданы начальные условия первого рода в виде (6.5а), то общий признак (6.9) регуляризации температурных полей примет вид [1, 12]:

, (6.9а)

где средняя температура исследуемого образца, вычисляемая по формуле (6.10); функции, определяющие законы изменения температуры поверхности исследуемого образца и имеющие вид (6.6а), (6.7), (6.8а) соответственно в случае регулярных режимов первого (к = 1), второго (к = 2) и третьего (к = 3) рода.

Ниже будет показано, что в случае использования методов регулярных режимов первого, второго и третьего рода, расчетные соотношения для вычисления искомых теплофизических свойств оказываются не намного более сложными, чем в случае стационарных методов. В отличие от стационарных методов, методы регулярных режимов обладают рядом достоинств [12]:

1) эти методы позволяют во многих случаях избежать измерений тепловых потоков (что часто бывает связано с техническими сложностями и большими погрешностями), а ограничиться измерением температур в 1 – 3 точках;

2) дают более широкие возможности в отношении выбора источников тепловых воздействий;

3) требуют, как правило, значительно меньших затрат времени (по сравнению со стационарными методами) на проведение активной части эксперимента;

4) часто не требуют значительного времени на предварительную выдержку образцов при определенной начальной температуре;

5) относительно малая суммарная затрата времени на проведение эксперимента часто позволяет снизить требования к тепловой защите исследуемых образцов от конвективного и лучистого теплообмена с окружающей средой;

6) метод регулярного режима второго рода позволяет в одном эксперименте получить зависимость измеряемых теплофизических свойств от температуры, например, ; отметим, что при использовании стационарных методов такие зависимости находят по опытным данным, полученным в нескольких экспериментах;

7) измерения теплофизических свойств производятся при относительно небольших перепадах температур, что приближает их средние значения к истинным.

Благодаря перечисленным выше достоинствам, методы регулярных режимов находят все большее применение как при проведении научно-исследовательских работ, так и при контроле качества продукции и изделий в процессах их производства и хранения.

К недостаткам нестационарных методов регулярных режимов относятся:

• трудности получения точно регулируемого изменения во времени температуры окружающей среды или температуры поверхности образца ;

• дополнительные динамические погрешности, возникающие из-за необходимости измерять изменяющиеся во времени температуры.

Использование современных компьютерных (микропроцессорных) технических и программных средств позволяет преодолевать эти недостатки нестационарных методов теплофизических измерений.