Принцип возможных перемещений.

Разработан Бернулли и Лагранжем, выражает достаточное условие равновесия механической системы.

Возможным перемещением данной системы называется всякое элементарное перемещение ее точек, допускаемое в данный момент наложенными на систему связями (без их разрушения).

Возможное (виртуальное) перемещение которое точка не совершает, а может совершить. Обычно, для механической системы, можно указать некоторое число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение будет через них выражено. Например для точки на плоскости любое ее перемещение можно выразить через два взаимно перпендикулярных перемещения и , тогда (a и b любые числа).

Число независимых между собой возможных перемещений механической системы – число степеней свободы системы. В механической системе с геометрическими связями, число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы.

Виртуальная работа – элементарная работа, которую могла бы совершить действующая на точку сила на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки. Виртуальная работа активной силы , а реакции связи . Последнее выражение справедливо и для идеальной связи, для которой сумма элементарных работ ее реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю .

Поскольку каждая точка системы, по условию, находится в равновесии, то сумма действующих на нее внешних и внутренних сил равна нулю: , а следовательно и сумма работ этих сил на любом перемещении равна нулю: , но для идеальных связей второе слагаемое равно нулю, следовательно должно выполняться условие: . Отсюда принцип возможных перемещений – для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю: - общее уравнение статики.

Принцип возможных перемещений дает необходимое и достаточное условие того, что положение механической системы является равновесным, и она не может прийти в движение.

Принцип Даламбера для системы.

Принцип Даламбера для Мк точки системы заключается в ее уравновешивании под действием внешних сил, реакций связей и сил инерции: . То же для остальных точек системы: если в любой момент времени, к каждой материальной точке системы приложить силу инерции этой точки, то они уравновесят приложенные к ним внешние силы и реакции связей. Это дает возможность при исследовании движения системы использовать уравнения по форме как в статике: , и .

Главный вектор сил инерции системы равен произведению массы системы на ускорение центра масс и противоположен этому ускорению: .

Главный момент сил инерции системы относительно некоторого центра O или оси z равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра или оси: .

Общее уравнение динамики.

Согласно принципу Даламбера, все силы, действующие на систему, реакции связей и силы инерции в каждый момент времени находятся в равновесии. Отсюда, на основе принципа возможных перемещений, следует, что сумма элементарных работ всех этих сил при любом возможном перемещении равна нулю. Для идеальных связей сумма элементарных работ внешних сил и сил инерции на любом возможном перемещении будет равна нулю:

, или

.

Это - общее уравнение динамики – вытекает из двух основных принципов механики: принципа Даламбера и принципа возможных перемещений.

Момент инерции массы.

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений массы каждой точки на квадрат ее расстояния от этой оси: . Аналогично относительно точки: , где r – расстояние от точки.

Момент инерции т.А относительно оси y: , но , откуда . Аналогично относительно других осей.

Момент инерции относительно начала координат , но , следовательно .

Теорема о кинетической энергии системы.