Теорема о кинетической энергии материальной точки.

Кинетической энергией движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости .

Поскольку , а работу совершает только касательная составляющая силы, то , где ϕ – угол между скоростью и силой. Умножая обе части на , получим или - дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.

Интегрируя последнее выражение в соответствующих пределах - изменение кинетической энергии движущейся материальной точки равно работе приложенной к ней силы на пройденном этой точкой пути. Если действуют несколько сил, то А – работа их равнодействующей.

Потенциальная энергия.

Часть пространства, в каждой точке которого на находящуюся там материальную точку действует некоторая сила, зависящая только от положения этой точки (x, y, z) называется силовым полем. Силовая функция такого поля

а само поле называется потенциальным.

Элементарная работа силы потенциального поля равна - полному дифференциалу силовой функции. Следовательно - работа силы потенциального поля равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и не зависит ни от вида, ни от длины траектории, по которой перемещается точка приложения силы.

Работа силы потенциального поля на всякой замкнутой траектории равна нулю.

Работа, производимая силой поля при перемещении материальной из т.М произвольного положения в начальное (нулевое), называется потенциальной энергией в т.М. . За нулевую точку М₀ можно принять любую точку поверхности уровня, на которой силовая функция имеет значение U₀. Так как U₀ - величина постоянная, то - проекции силы потенциального поля на координатные оси равны взятым с обратным знаком частным производным от потенциальной энергии по соответствующим координатам.

Закон сохранения энергии.

Точка движется в потенциальном поле из М1 в М2 (U1 и U2 соответственно). Уравнение кинетической энергии , но так как работа А равна разности значений силовой функции в начальном и конечном положениях, то . Потенциальную энергию выразим и , а подставив в уравнение кинетической энергии , или . То есть - при движении материальной точки в потенциальном силовом поле сумма потенциальной и кинетической энергии остается постоянной.

Это частный случай общего физического закона сохранения энергии.

Принцип Даламбера для материальной точки.

На точку действует активная сила и реакция связи . Их результирующая вызывает ускоренное движение с ускорением . Согласно второму закону динамики . Приложим в т.М силу, равную по модулю , но противоположную по направлению: . Эта сила, равная по модулю произведению массы точки на ускорение и направленная противоположно ускорению, называется силой инерции. Очевидно, что и равны по модулю и противоположны, т.е. уравновешены.

Принцип Даламбера: при движении материальной точки в каждый момент времени заданная сила, реакция связи и сила инерции взаимно уравновешиваются.

В проекциях на координатные оси, сила инерции будет . Проекции на естественные оси составят: .

В действительности сила инерции приложена не к самой движущейся точке М, а к тому телу, в результате взаимодействия с которым эта точка получает данное ускорение.

Согласно принципу Даламбера при решении задач динамики получают уравновешенные системы, для которых используются уравнения равновесия статики. Метод называется – метод кинетостатики.