Прямолинейное движение материальной точки.

Если движение вдоль оси x, - дифференциальное уравнение прямолинейного движения. Так как , то . Решение основной задачи динамики сводится к тому, что зная силы, найти закон движения точки . Для этого необходимо интегрировать соответствующее дифференциальное уравнение, в котором . Общее решение имеет вид: , где С₁ и С₂ - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (v₀, x₀ при t₀).

Основные этапы решения задач динамики:

1. Составление уравнений движения.

2. Интегрирование уравнений движения.

3. Определение постоянных интегрирования.

4. Определение искомых величин.

Криволинейное движение.

При криволинейном движении используются все три дифф. уравнения , , . При t₀ начальные условия x₀, y₀, z₀. Определяется закон движения точки, т.е. уравнения интегрируются и находятся зависимости x, y и z в функции времени t. Шесть постоянных интегрирования С_i определяются на основе начальных условий.

Общие теоремы динамики точки.

Теорема о количестве движения - изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на эту точку силы за то же время.

Количество движения мат. точки: ( ).

Элементарный импульс силы: , а сам импульс .

Из основного уравнения динамики , имеем .

После интегрирования в пределах от 0 до t получим .

Изменение проекции количества движения на какую либо ось равно проекции импульса силы на ту же ось. Если проекция , то , v_x=const. Если , .

Теорема о моменте количества движения – производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно неподвижного центра О, равна моменту действующей на эту точку силы относительно того же центра (то же относительно оси).

Момент силы относительно центра О равен: . Момент количества движения т.М, относительно того же центра , взяв производную по времени, получим . Но , а , следовательно , где . Таким образом .

Следствия:

1. Если , то , и следовательно .

2. Если линия действия силы во все время движения проходит через центр О, сила - центральная, а .

Работа сил.

Эффект действия силы, выражающийся в изменении кинетической энергии материальной точки, измеряется работой этой силы.

Если точка приложения постоянной силы движется по прямой, совпадающей с линией действия силы, то ее работа будет равна произведению модуля силы на длину пути S, пройденному точкой приложения силы, взятому со знаком (+) если направление силы совпадает с перемещением, и со знаком (-) – если сила противоположна перемещению. (Нּм=Дж).

При переменной силе приращение работы , а полная работа .

Работа силы на криволинейной траектории точки.

Разложим силу на касательную и нормальную составляющие, тогда работу силы на участке будет определять только : . Переходя к пределу, и учитывая, что , получим: - работа силы на конечном пути выражается криволинейным интегралом, взятым вдоль соответствующей дуги траектории точки.

Заменяя , можно представить . Поскольку , то - скалярное произведение векторов. Выражая элементарную работу через проекции векторов на координатные оси, получим аналитическое выражение или - работа равнодействующей на некотором пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.

Мощность – величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени: - равна произведению касательной составляющей силы на скорость и имеет размерность .