Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).

Абсолютное ускорение . Каждая из этих производных будет зависеть от изменения векторов скоростей точки как при относительном, так и при переносном движениях.

Присвоим индекс 1 изменениям, которые получают скорости при относительном движении, индекс 2 – при переносном. Тогда .

- изменение относительной скорости только в относительном движении.

- изменение переносной скорости только в переносном движении.

- кориолисово (поворотное) ускорение, учитывающее изменение относительной скорости точки в переносном движении и изменение ее переносной скорости в относительном движении: .

Теорема: При сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме векторои трех ускорений: относительного, переносного и кориолисова.

Рассмотрим изменение вектора относительной скорости в переносном движении. Вектор направлен по касательной к траектории в т.М и при переносе траектории в т.М₁, меняет свое направление. В результате вектор получит приращение . Здесь - вектор скорости, с которой перемещается т.b при повороте вектора относительной скорости вокруг т.М1, с переносной угловой скоростью (переносное движение состоит из поступательного, со скоростью , и вращательного, вокруг центра подвижной системы). Находим: , подставляя , окончательно .

Определим от относительного перемещения за период .

Переносная скорость т.М будет складываться из скорости некоторого центра О и окружной скорости при вращении вокруг него , а в т.М1 . Радиус-вектор точки , а . Поскольку , получаем . Окончательно .

В итоге, для ускорения кориолиса получаем: , т.е. кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости на относительную скорость точки. Модуль кориолисова ускорения , где - угол между векторами.

Направление вектора можно найти повернув вектор на 90° в сторону переносного движения. Если , необходимо спроектировать на нормальную плоскость.

Динамика.

Динамика – это раздел теоретической механики, в котором изучается связь между движением материальных тел и действующими на них силами.

Основные задачи динамики:

1. Зная силы, действующие на материальную точку или систему точек, найти движение этой точки или системы.

2. Зная движение материальной точки или системы точек, найти силы, действующие на точку или систему.

В основе классической динамики лежат аксиомы, сформулированные И. Ньютоном:

1. Закон инерции. Если на материальную точку не действуют никакие силы, то эта точка или находится в покое, или движется прямолинейно и равномерно: . Закон устанавливает свойство инерции – прямолинейного равномерного движения без воздействия сил на тело. Если движение отличное от инерционного, то на тело действует некоторая сила.

2. Закон зависимости между силой и количеством движения (основной закон динамики)

Модуль силы, действующей на материальную точку, равен произведению массы точки на модуль ее ускорения, а направление силы совпадает с направлением ускорения . Масса является мерой инертности материальной точки и равна отношению веса на ускорение свободного падения .

Количеством движения точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость, совпадающая по направлению с вектором скорости . Поскольку , то , т.е сила, приложенная к точке, равна производной от количества движения этой точки по времени.

3. Закон равенства действия и противодействия. Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны. или - ускорения, которые сообщают друг другу две материальные точки, обратно пропорциональны массам этих точек и направлены в противоположные стороны.

4. Закон независимости действия сил. Если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то ускорение этой точки равно геометрической сумме ускорений, которые получает эта точка при действии каждой из сил в отдельности , или .

Основные виды сил.

При решении задач динамики, рассматриваются постоянные и переменные силы.

1. Сила тяжести – постоянная сила, равная весу тела. Экспериментально установлено, что при свободном падении в безвоздушном пространстве любое тело имеет одно и то же ускорение g – ускорение свободного падения, а его вес равен .

2. Сила трения – сила трения скольжения, действующая на движущееся тело при отсутствии смазки , где f – коэффициент трения (const), нормальная к поверхности тела сила.

3. Сила тяготения – сила взаимного притяжения двух материальных тел, зависящая от расстояния r, масс тел m₁ и m₂, а так же гравитационной постоянной f_гр=6,673x10^-11 .

4. Сила упругости – пропорциональна деформации тела. Для пружины , где с – коэффициент жесткости пружины, λ – удлинение пружины.

5. Сила вязкого трения – зависит от относительной скорости v движения тел, разделенных слоем вязкой среды (при малых скоростях). , где μ - коэффициент вязкого сопротивления.

6. Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления – действует на тело, движущееся с большой скоростью v в вязкой среде. , где: Cx – коэффициент аэродинамического сопротивления, зависящий от формы тела и его ориентации при движении; ρ - плотность среды; S – площадь сечения миделя тела.

7. Инертная масса – определяет меру инертности тела и позволяет определить его силу инерции .

Динамика точки.

Дифференциальные уравнения движения точки.

Для решения задач динамики необходимо иметь уравнения, связывающие координаты точки (x,y,z) и действующие на нее силы. Из второй аксиомы динамики , или в проекциях: , , . Это и есть дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах.

Так как действующие на точку силы могут зависеть от времени t, положения x, y и z, от скорости , и , то в общем случае правая часть каждого из 3-х уравнений может быть функцией всех перечисленных переменных.

Если оси естественного трехгранника связать с движущейся точкой М: Мτ – касательная к траектории, Мn – нормаль к траектории в соприкасающейся плоскости, Mb - бинормаль. Тогда дифференциальные уравнения будут иметь вид: , , .