Вращательное движение тела вокруг оси.

Если при движении тела две его точки остаются неподвижными, то его движение вращательное. Прямая проходящая через эти точки – ось вращения. Любая точка не лежащая на оси описывает окружность радиусом r в плоскости, перпендикулярной оси.

Положение тела при вращении вполне определяется углом поворота плоскости, неизменно связанной с телом, относительно некоторого начального положения.

З а промежуток времени , тело повернется на угол со средней угловой скоростью , а в пределе (рад/с).Значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, откуда поворот виден против часовой стрелки.

Угловое ускорение характеризует изменение, с течением времени, угловой скорости тела (рад/с²). Численное значение углового ускорения равно первой производной от угловой скорости и второй производной угла поворота тела по времени, а его вектор направлен вдоль оси вращения и совпадает с вектором при ускоренном вращении.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Скорость т.М , однако . Следовательно . Эта линейная скорость называется окружной. Скорость точки вращающегося вокруг неподвижной оси тела равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус вектор этой точки.

Поскольку угловая скорость одинакова для всех точек тела, то окружная скорость точек будет пропорциональна их расстоянию от оси вращения.

Дифференцируя последнее выражение по времени получим:

.

Касательное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению углового ускорения тела на радиус вектор точки.

Нормальное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению угловой скорости тела на линейную скорость этой точки.

Поскольку ускорения точки и , то для вращательного движения, при , получим: и . Полное ускорение т.М .

Плоскопараллельное движение тела.

Это такое движение, при котором расстояние каждой точки тела от данной неподвижной п лоскости остается постоянным. Изучение плоскопараллельного движения тела приводится к движению плоской фигуры в своей плоскости. Движение плоской фигуры относительно неподвижной системы координат определяется положением некоторого центра О(x_О,y_О) и углом поворота подвижных координат вокруг этого центра.

Уравнения плоскопараллельного движения тела: ; ; .

При движение поступательное, при и - движение вращательное.

Разложим плоскопараллельное движение на:

- переносное движение – движение некоторого центра О тела относительно неподвижной системы координат, определяемое координатами и ;

- относительное движение - вращение тела вокруг этого центра О, определяемое углом . Угловая скорость фигуры не зависит от выбора центра.

Скорости точек плоской фигуры.

Представим скорость т.М тела как векторную сумму переносной скорости т.О и относительной скорости т.М при вращении вокруг т.О. Переносная скорость одинакова для всех точек фигуры при поступательном движении, а относительная скорость перпендикулярна радиусу .

Скорость любой точки движущейся плоской фигуры равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Мгновенный центр скоростей (МЦС) плоской фигуры.

В плоскости движения фигуры существует такая точка, для которой переносная и относительная скорости равны и противоположны. Вектор скорости известен, повернем полупрямую этого вектора на 90° в направлении вращения фигуры и отложим на ней , скорость т.С или .

Скорость любой точки плоской фигуры в данный момент времени равна по модулю и направлению скорости во вращательном движении фигуры вокруг МЦС.

МЦС лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к векторам скоростей двух точек фигуры, а модули скоростей этих точек пропорциональны их расстояниям от МЦС.

У скорения точек плоской фигуры.

Ускорение точки фигуры равно геометрической сумме ускорений в поступательном переносном и вращательном относительном движениях. , где , а . и - угловые скорость и ускорение тела во вращательном относительном движении. Угол можно определить отношением .

Мгновенный центр ускорений (МЦУ).

П усть известно. Ускорение искомой точки С будет складываться из равных по модулю и противоположных векторов переносного и относительного ускорений. Центр лежит на линии ОС, под углом к вектору . Относительное вращательное ускорение , следовательно . При ускоренном вращении, угол откладывается от вектора в направлении вращения, при замедленном – в противоположную сторону.

Ускорение любой точки движущейся плоской фигуры, в данный момент времени, определяется как ускорение этой точки при вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений.

Д вижение твердого тела вокруг неподвижной точки.

В неподвижной точке О разместим начала координат неподвижных осей Oxyz и осей связанных с телом Ox₁y₁z₁. Взаимное положение двух систем осей можно определить 9 направляющими косинусами или 3 углами Эйлера.

Обозначим линию пересечения плоскостей y и y₁ – ОК – линия узлов. Угол между осью z и ОК (лежащий в плоскости y) - угол прецессии. Угол между осями y и y₁ - - угол нутации. Угол между линией узлов ОК и осью z1 - - угол собственного вращения ( в плоскости y₁). Положительное направление углов – против часовой стрелки с положительного направления осей.

Уравнения движения , , . Угловые скорости вокруг осей:

оси y: ; оси y₁ : ; линии ОК: . Мгновенная угловая скорость тела , а направление ее вектора – мгновенная ось вращения. Линейные скорости точек тела пропорциональны расстоянию от мгновенной оси вращения , а ускорения складываются из вращательного и осестремительного: , - радиус-вектор точки А.

Общий случай движения свободного твердого тела.

Для определения положения тела в пространстве, необходимо определить положение некоторого центра О₁ в базовой неподвижной системе координат x,y,z, и вращение тела вокруг этого центра: раскладываем движение на поступательное т.О₁ и вращательное вокруг этой точки.

Сложное движение точки.

Рассмотрим сложное движение точки состоящим из двух простых:

- движение т.М относительно подвижной системы координат O₁x₁y₁z₁ – относительное движение.

АВ – относительная траектория, - относительная скорость, - относительное ускорение.

- Движение подвижной системы координат O₁x₁y₁z₁ в неподвижной системе Oxyz – переносное движение т.М.

Движение точки относительно неподвижной системы координат Oxyz – абсолютное движение.

А бсолютная скорость точки равна геометрической сумме векторов переносной и относительной скоростей, а ее модуль .

Вектор полного перемещения точки , разделим на и переходя к пределу, получим: , или .