Кинематика

Кинематика- часть курса теоретической механики, в которой изучается движение твердого тела или системы тел, независимо от причин, вызвавших его.

Механическое движение – изменение, с течением времени, положения тела в пространстве по отношению к другим телам.

Система отсчета – система координат, связанная с одним из тел механической системы. Если положение тел относительно системы отсчета неизменно – тела неподвижны.

Кинематически определить движение тела – указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый данный момент времени.

Время рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина, играющая роль независимого переменного t.

Траектория – линия, описываемая движущейся в пространстве точкой.

Способы задания движения точки.

1. Векторный способ.

При движении т.М по траектории, вектор будет изменяться по модулю (длина) и направлению (углы).

2. Координатный способ.

Задаются декартовы координаты точки в функциях времени – уравнения движения точки: Можно перейти от параметрической формы к прямой зависимости и тд.

3. Естественный способ.

Используется, когда траектория точки известна. На траектории выбирается начальная точка отсчета О и положительное направление. Закон движения точки будет однозначно определяться криволинейной координатой (это не путь, а координата).

Скорость точки.

Скоростью точки называется вектор, характеризующий в каждый момент времени быстроту и направление движения точки.

При равномерном движении скорость равна отношению пути к промежутку времени , а направление в сторону движения. Размерность .

При произвольном движении точки за время радиус вектор получит приращение , а средняя скорость на этом интервале составит - то есть мгновенная скорость точки это предел, к которому стремится средняя скорость . В проекциях скорости на оси: Откуда

Так как предельным направлением секущей ММ₁ будет касательная, то вектор скорости т.М в данный момент времени направлен по касательной к траектории в точке в сторону движения, а проекции скорости на оси равны первым производным от координат по времени.

Ускорение точки.

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени: . Размерность

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости и второй производной от радиус-вектора по времени.

Движение ускоренное при совпадении направлений векторов скорости и ускорения, замедленное - при противоположных направлениях.

В общем случае, для пространственной кривой вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Проекции ускорения на оси: ; ; , а модуль

К асательное и нормальное ускорения точки.

Используются в основном при задании движения естественным способом.

Поскольку вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, его проекция на бинормаль равна нулю. Рассмотрим проекции вектора приращения скорости на касательную Мt и нормальную Мn оси.

Считая, что при бесконечно малом dϕ, фигуру ABCD можно считать прямоугольником, тогда , а . Отсюда касательное ускорение , нормальное ускорение , где ρ- радиус кривизны траектории. Полное ускорение , а угол его наклона к нормали .

Скорость и ускорение точки в полярных координатах.

П ри плоском движении точки ее положение определяется и . Перемещение будет складываться из радиального приращения и окружного перемещения . Проекции скорости на эти перемещения ; и . Полная скорость .

Поступательное движение твердого тела.

П оступательное движение – при котором всякая прямая, неизменно связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.

Теорема: при поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый данный момент времени имеют равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

Радиус-вектор т.А равен , где АВ = const. Продифференцируем это выражение по времени: , т.е. скорости тт.А и В равны, а также равны их ускорения . Из этого следует, что поступательное движение тела будет вполне определено, если известно движение только одной любой его точки. Изучение поступательного движения сводится к изучению кинематики точки. Термины «скорость тела» и «ускорение тела» имеют смысл только при поступательном движении.