3. Релятивістська механіка вільних частинок. Зіткнення.

36. Знайти наближений вираз для кінетичної енергії Т частинки масою m: а) через її швидкість V; б) через її імпульс р з точністю до відповідно при V<<c.

Розв’язання. а). У формулі для кінетичної енергії

(1)

будемо вважати відношення малим параметром ( ). Розкладемо вираз (1) у ряд Тейлора по α, обмежившись першими двома членами розкладу.

В нульовому наближенні маємо звичайний вираз для кінетичної енергії .

б). Запишемо кінетичну енергію у вигляді

Підставимо ε у вираз для Т і отримаємо

.

Вважаючи малим параметром розкладемо по ньому так само, як і в а). Маємо:

36. Знайти швидкість частинок в наступних випадках: а) електрони в електронній лампі (ε=300еВ); б) електрони в синхротроні на 300 МеВ; в) електрони в синхроциклотроні на 680 МеВ.

Розв’язання. В усіх випадках з формули знаходимо, що .

а).V=3.42·10^-2 c;

б). V=0.9999 c;

в). V=0.81 c.

36. Прискорювач дає на виході пучок заряджених частинок з кінетичною енергією Т, сила струму в пучці дорівнює І. Знайти силу, з якою пучок тисне на мішень, а також потужність, яка виділяється в мішені. Маса частинки m, заряд е.

Розв’язання. Силу знайдемо наступним чином , де dn – кількість усіх частинок, які попадають на мішень, р₁ – імпульс однієї частинки.

(відповідно до задачі 41).

По визначенню , де е-заряд електрона, то вираз для сили набуває вигляду:

m – маса електрона, Т₁ – його кінетична енергія.

В мішені виділяється потужність

,

де dT – кінетична енергія електронів, які попали на мішень за час dt.

Очевидно, що .

36. Визначити масу m частинки, якщо відомо, що вона розпадається на дві частинки з масами m₁ i m₂, імпульсами р₁ і р₂. Кут між напрямками імпульсів θ.

Розв’язання. Використовуємо закон збереження імпульсу при зіткненнях:

(1)

Перемножимо р_і на р^і

(2)

Для кожної із частинок виконується співвідношення:

(3)

Можна показати, що

де g^ik – метричний тензор.

(4)

Використаємо те, що

(5)

(6)

Тоді

(7)

Всі інші члени в (4) будуть рівні .

Підставимо всі вирази в (2) і знайдемо масу m частинки, яка розпадається.

.

В нерелятивістському випадку знехтуємо членами пропорційними 1/с² і отримаємо m=m₁+m₂.

36. Визначити масу m₁ частинки, якщо вона являється однією з двох частинок, які створились при розпаді частинки з масою m і імпульсом p. Відомі також імпульс p₂, маса m₂ і кут вильоту θ₂ другої частинки ,створеної при розпаді.

Розв’язання. Із закону збереження 4-імпульсу маємо

Так як в умові задачі задано кут між напрямками руху початкової і другої частинки, то перенесемо вправо

Піднесемо до квадрату

(1)

Нам відомо, що

(2)

Тоді

(3)

Підставимо (3) в (1)

(4)

Звідси

В нерелятивістському наближенні m₁=m-m₂

36. Частинка з масою m₁ і швидкістю V₁ співударяється з нерухомою частинкою m₂ і поглинається нею. Знайти масу m і швидкість створеної частинки.

Розв’язання. Із закону збереження 4-імпульсу отримуємо

(1)

де pⁱ – 4-імпульс створеної частинки. Запишемо і у вигляді

Для другої частинки , тому

Тоді

(2)

Підставимо (2) в (1) і отримаємо

В нерелятивістському наближенні

Із закону збереження імпульсу

(3)

(4)

Використаємо відомий із задачі 41 результат . Підставимо сюди (3) і (4) і знайдемо

.

36. Нерухоме тіло з масою m₀ розпадається на дві частинки з масами m₁ і m₂. Знайти кінетичні енергії Т₁ і Т₂ продуктів розпаду.

Розв’язання. Запишемо компоненти 4-імпульсу всіх частинок

Із закону збереження 4-імпульсу слідує .

Піднесемо цю рівність до квадрату, враховуючи, що (аналогічно попередній задачі)

Звідси

Кінетична енергія другої частинки

,

або

Так само можна знайти і кінетичну енергію першої частинки

.

36. Нерухоме вільне збуджене ядро (енергія збудження Δε) випромінює γ-квант. Знайти його частоту ω. Маса ядра m.

Розв’язання. Запишемо компоненти 4-імпульсу γ-кванта в вакуумі , де ω- частота кванта, - одиничний вектор в напрямку його розповсюдження.

Очевидно, що

Позначимо 4-імпульс ядра до випромінювання , а після і запишемо їх у вигляді

Із закону збереження імпульсу маємо

Врахуємо, що

Тоді

Звідси можна знайти частоту

У випадку малого збудження Δε<<mc² отриманий вираз можна спростити (введемо малий параметр )

Якщо ядро жорстко закріплено у решітці, то зміни маси ядра при випромінюванні не виникає.

36. Частинка з масою m налітає на нерухому частинку з масою m₁. Відбувається реакція, в якій народжується ряд частинок з загальною масою М. Якщо m+m₁<M, то при малих кінетичних енергіях частинки, яка налітає, реакція не відбувається – вона заборонена законом збереження енергії. Знайти мінімальне значення кінетичної енергії частинки, яка налітає, (енергетичний поріг Т₀ реакції), починаючи з якого реакція стає енергетично можливою.

Розв’язання. При значенні кінетичної енергії Т₀, її вистачить лише для того, щоб розщепити початкову частинку з масою m₁ і створити частинки з загальною масою М. В системі центру мас частинки, що налітає, і нерухомої частинок їх сумарний імпульс до зіткнення дорівнює нулю. Він не зміниться і після зіткнення. Це означає, що в цій системі 4-імпульс створених частинок дорівнює:

В лабораторній системі координат 4-імпульс частинок після зіткнення:

(1)

До зіткнення 4-імпульс частинки, що налітає, з енергією Т₀ має вигляд:

а нерухомої:

Піднесемо до квадрату і використаємо (1)

(2)

Використаємо, що

із (2) отримаємо

Звідси

.

36. Довести, народження пари електрон-позитрон одним γ-квантом можливо лише тоді, коли в реакції приймає участь частинка з масою (внутрішній стан частинки не змінюється, вона приймає частину енергії і імпульсу і робить можливим виконання закону збереження). Знайти поріг Т₀ реакції народження пари.

Розв’язання. Використаємо розв’язання попередньої задачі. Покладемо масу частинки, що налітає, m=0 (маса фотона). Маса створених частинок М дорівнює двом масам електрона плюс масу нерухомої частинки m₁.

Тоді поріг реакції

Якщо m₁=0, то Т₀=∞ і реакція стає неможливою.

36. Довести, що закон збереження енергії імпульсу заборонена анігіляція пари електрон, в якій випромінюється один γ-квант, але немає заборони на реакцію анігіляції пари з випроміненням двох фотонів.

Розв’язання. Запишемо рівняння реакції:

4-імпульси пари електрон-позитрон і фотона відповідно рівні:

Запишемо закон збереження 4-імпульсу у вигляді:

Звідси знайдемо:

В системі центра інерції

І ми отримаємо рівність , яка на виконується для вільних рухомих частинок, так як їхня енергія завжди додатня і більша ніж енергія спокою.

У випадку, коли створюється два γ-кванти ситуація змінюється. Позначимо їхні 4-імпульси наступним чином

Закон збереження 4-імпульсу в цьому випадку має вигляд

(1)

Піднесемо до квадрату обидві частини рівності

(2)

В силу того, що RⁱR_i=0

Із цього рівняння видно, що анігіляція можлива лише, коли (тобто маємо два γ-кванти, див. мал. 11)

36. Квант світла з частотою ω₀ розсіюється на рухомому вільному електроні. Початковий імпульс електрона складає кут θ₀ з напрямком розповсюдження кванта. Знайти залежність частоти ω розсіяного фотона від напрямку його руху (ефект Комптона). Розглянути, зокрема випадку, коли до зіткнення електрон був у спокою.

Розв’язання. Запишемо компоненти 4- імпульсу електрона і фотона до і після зіткнення:

Закон збереження 4-імпульсу запишемо у вигляді

Так як кут розсіювання електрона за умовою задачі не задано.

Піднесемо до квадрату

.

Використавши рівності , отримаємо

(1)

Обчислимо всі складові частини цієї формули.

Всі ці вирази підставимо в (1) і знайдемо частоту ω розсіяного фотона

Якщо електрон до зіткнення був у спокої, то р₀=0, ε₀=mc².

І ми отримаємо:

,

де θ₁=π-θ-θ₀ – кут “заломлення” фотона.

36. Фотон з енергією ħω₀ розсіюється на ультрарелятивістському електроні масою m і енергією ε₀>>ħω₀. знайти максимальну енергію ħω розсіяного фотона.

Розв’язання. Використаємо попередню задачу при умові, що θ=0, θ₀=π. Тоді

Запишемо вираз для імпульсу у випадку великих енергій. .

З урахуванням цього .

Список рекомендованої літератури.

1. В.В. Батыгин, І.Н. Топтыгин Современная электродинамика. Часть 1. Микроскопическая теория Изд-во: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005 г., 734 с.

2. В. В. Батыгин, І. Н. Топтыгин. Сборник задач по электродинамике. - М. Наука, 1970.-504с.

3. Е. Г. Векштейн. Сборник задач по электродинамике. - М.: Высш. шк.,1966. – 288 с.

4. Я. П. Терлецкий, Ю. П. Рыбаков. Электродинамика. – М.: Высш. шк., 1980. – 335 с.

5. А. И. Алексеев. Сборник задач по классической электродинамике. – М.: Наука, 1977. – 320 с.

6. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006, 534 с.

7. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 656 с.

8. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 5. Электричество и магнетизм.- Изд. Едиториал УРСС, 2008, 304 с.

9. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 6. Электродинамика. - Издательство: ЛКИ, 2008 г., 352 с.

10. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями к выпускам 5-9 .- Изд. Едиториал УРСС, 2009, 272 с.

ЗМІСТ.

Передмова………………………………………………… ………..3

1. Основи векторного і тензорного аналізу.……………………...4

2. Спеціальна теорія відносності та релятивістська механіка.…15

3. Тензор Леві-Чевіта.............………………… ………………….29

4. Релятивістська механіка вільних частинок. Зіткнення.……...35

Список рекомендованої літератури……………..………………...50

Учебное издание

Авторы:

Гаркуша Виктор Владимирович

Зюбанов Александр Евгеньевич

Пойманов Владислав Дмитриевич

Юрченко Владимир Михайлович

Подписано к печати Формат60x841/16 Печать офсетная

Усл.печ. листов Тираж 50 экз. Заказ

1