2. Спеціальна теорія відносності та релятивістська механіка.

Координати і час в двох інерціальних системах відліку і пов’язані між собою формулами перетворювання Лоренца

, , ,

,

де - швидкість системи відносно системи (відповідні осі координат систем і паралельні між собою, відносна швидкість направлена вздовж осі Ox.

Усякі чотири величини , , , , які перетворюються при переході від однієї інерціальної системи координат до іншої по формулам:

, , ,

утворюють чотирьохмірний вектор (4-вектор).

Якщо деякий стержень має довжину в своїй системі спокою, то при русі із швидкістю V вздовж своєї вісі той же стержень в нерухомій системі координат матиме довжину

.

Якщо об’єкт рухається відносно системи із швидкістю , то інтервал власного часу (власний час відраховується по годиннику, який рухається разом з об’єктом) виражається через проміжок часу в системі по формулі

.

Чотиримірною швидкістю (4-швидкістю) називається 4-вектор, компоненти якого визначаються формулами

,

де - звичайна швидкість частинки.

4-швидкість, як 4-вектор, перетворюється за формулами

, , ,

Електричне й магнітне поле являються компонентами антисиметричного 4-тензора електромагнітного поля :

.

Компоненти тензора енергії — імпульсу в вакуумі визначаються за формулою

.

Релятивістська механіка.

Імпульс релятивістської частинки пов’язаний з її швидкістю співвідношенням:

,

де - маса частинки.

Повна енергія частинки, яка вільно рухається, може бути виражена через швидкість або імпульс:

,

.

Енергія спокою .

Кінетична енергія .

Енергія, імпульс та швидкість пов’язані між собою:

ЗАДАЧІ

23. Система рухається відносно системи із швидкістю . В момент, коли початки систем координат співпадали, годинники в обох системах показували один і той же час . Які координати буде мати світова точка, яка має таку властивість: в ній годинники обох систем показують один і той же час ? Визначити закон руху цієї точки.

Розв’язання. Ведемо наступні позначення h_r=1, , де - швидкість світла. Будемо вважати, що в початковій момент часу початки систем співпадали і годинники були синхронізовані. Рух відбувається вздовж осі . Формули, які пов’язують координати і час в системах і запишуться у вигляді:

; ; ; . (1)

Обернені перетворення записуються у вигляді

; ; ; . (2)

По умові задачі для деякої точки. Координати цієї точки в системах і можна отримати із формул (2) при :

.

Використовуючи формули (1) отримаємо:

.

Таким чином відносно цієї точки обидві системи координат рухаються в різні сторони з однаковими по модулю швидкостями: .

24. Нехай для вимірювання часу використовується періодичний процес відбиття світлового “зайчика” по черзі від двох дзеркал, які закріплені на кінцях стержня довжиною . Один період – це час руху “зайчика” від одного дзеркала до іншого і назад. Світловий годинник нерухомий в системі і орієнтований паралельно напрямку руху. Показати, що інтервали власного часу виражається через проміжок часу в системі формулою .

Розв’язання. Очевидно, що один період такого годинника дорівнює: , де - час, за який “зайчик” доганяє дзеркало 2, а - час . Так як. Дзеркала рухаються із швидкостями , то відносно нерухомої системи координат відстань між ними буде: .

За час дзеркало 2 “втече” на відстань .

Таким чином , звідси .

Замінимо на і для часу отримаємо .

Період нашого годинника дорівнює:

.

25. Розв’язати попередню задачу, якщо світловий годинник орієнтований перпендикулярно напрямку відносної швидкості.

Розв’язання. В цьому випадку Лоренцове скорочення відстані між дзеркалами немає. Хід світлового променя зображений на мал.2 . Очевидно, що

, а період .

де - швидкість руху годинника

Із мал..2 видно, що ,

звідси і .

Таким чином ми отримали той же час, що і в попередній задачі.

26. Який проміжок часу зайняв би по земному годиннику політ ракети до зіркової системи Проксіма-Центавра і назад (відстань до неї чотири світових роки). Який запас кінетичної енергії, якщо її маса 10т.? Який час польоту буде по годиннику в ракеті.

Розв’язання. Використаємо формулу, яка виражає уповільнення часу с точки зору спостерігача в рухомій системі координат (позначимо цей час t) по відношенню до спостерігача в рухомій системі ().

.

Проміжок власного часу .

В задачі сказано, що t=8 років, а

Таким чином =29.22 діб.

Запас кінетичної енергії є різниця між її повною енергією та енергією спокою E₀=mc².

.

27. Вивести формули лоренцового скорочення від системи до системи для радіус-вектора і часу t, не вважаючи, що швидкість системи відносно системи паралельна осі x. Результат представити у векторному вигляді.

Розв’язання. В напрямку, перпендикулярному руху системи лоренцового скорочення не має, а в напрямку вектора всі розміри скорочуються відповідно:

.

Розкладемо вектори і на повздовжню та поперечну складові відносно вектора швидкості (мал. 3).

Запишемо у вигляді ,

де - одиничний вектор у напрямку

швидкості

; ,

а - проекція на напрямок ,

Тому можемо записати:

;

Тепер запишемо формули перетворення Лоренца

; ; ,

ми використали, що .

Запишемо вектор в системі :

Використаємо формулу

.

Остаточно отримаємо

;

;

.

28. Вивести формули додавання швидкостей для випадку, коли швидкість системи відносно має довільний напрямок. Формули подати у векторному вигляді.

Розв’язання. Використаємо результат попередньої задачі. Продиференціюємо радіус-вектор . Позначимо через і швидкості в системах і . Тоді маємо:

.

29. Задані три системи відліку , , . рухається відносно із швидкістю , яка паралельна осі , - відносно із швидкістю , яка паралельна осі х. Відповідні осі усіх трьох систем паралельні. Записати перетворення Лоренца від до і отримати із них формулу додавання паралельних швидкостей.

Розв’язання. Введемо вектор . Тоді формули для перетворень Лоренца можна записати в матричному вигляді:

, (1)

де ;

запишемо перетворення між системами і

, (2)

де .

Підставимо вираз (1) в (2) і після перемноження матриць отримаємо:

.

30. Два масштаби, кожен з яких в своїй системі спокою має довжину l₀ рухаються назустріч один одному із однаковими швидкостями V відносно деякої системи відліку. Яка довжина l кожного із масштабів, виміряна в системі відліку, яка пов’язана з іншим масштабом?

Розв’язання. Використаємо релятивістський закон додавання паралельних швидкостей. Згідно з цим законом один із масштабів рухається відносно іншого із швидкістю V₁₂ рівною:

.

Підставимо цей вираз у формулу для лоренцового скорочення довжини:

.

31. Тонкий стержень нерухомий в системі , має в ній довжину l₀ і розташований так, як показано на мал.. Система рухається із швидкістю відносно фотопластинки АВ, яка нерухома в системі S. В момент проходження стержня біля фотопластинки відбувається короткий спалах світла, промені якого падають нормально до площини пластинки xz.

а). Якою буде довжина l зображення на фотопластинці? Чи може вона стати більшою за l₀?

б). При якому куті нахилу сфотографується лише торець стержня?

в). Який кут нахилу стержня до осі 0x?

Розв’язання.

а). Введемо наступні позначення:

α - кут між стержнем і віссю х в системі ;

- кут між стержнем і віссю х в лабораторній системі координат S.

Так як швидкість світла обмежена, то торець стержня B сфотографується на час раніше, ніж торець А. За цей час торець А зміститься вправо на відстань .

Крім того, якби , то сфотографувався б укорочений стержень довжиною .

Якщо , то отримане зображення матиме довжину .

Введемо позначення .

Тоді .

Значення , при якому знаходимо із умови:

.

.

При цьому стержень мусить рухатись вліво (V<0).

б). Прирівняємо L до нуля і знайдемо α:

; .

в). Кут можна знайти наступним чином:

.

.

32. “Поїзд” , довжина якого в системі, де він знаходиться у спокої, рухається із швидкістю біля “платформи”, яка має таку ж довжину в своїй системі спокою. В голові і в хвості “поїзда” знаходяться однакові синхронізовані між собою годинники. Такі ж самі годинники встановлені на початку А і в кінці В “платформи”. В момент, коли голова “поїзда” порівнялась з початком “платформи”, співпадаючі годинники показували 12год. 00хв. Відповісти на наступні запитання: а) чи можна стверджувати, що в цей момент часу всі годинники показують 12год. 00хв.; б) скільки показує кожен з годинників в момент часу, коли хвіст “поїзда” порівнявся з кінцем “платформи”; в) скільки показують годинники в момент, коли голова “поїзда” порівнялась з кінцем “платформи”?

Розв’язання.

а) Не можна. В певний момент часу можна одночасно в обох системах запустити годинники, але події, які відбуваються одночасно в одній системі відліку, не являються такими в іншій.

б ) Схематично зобразимо положення “поїзда” і “платформи” на мал. 5. Далі все залежить від того, де ми знаходимось: в “поїзді” чи на “платформі”. Нехай спочатку ми знаходимось на “платформі”. Тоді ми бачимо скорочений поїзд довжиною . Для того, щоб його хвіст досяг “платформи”, необхідний час по всім годинникам системи S, так як всі вони були синхронізовані в початковий момент часу. З точки зору спостерігача в системі S годинник в йде повільніше. Тому

.

З точки зору системи S годинник не синхронізований з . Знайдемо добавку до часу , обумовлену тим, що годинники і не синхронізовані (з точки зору системи S). Запишемо перетворення Лоренца

.

Покладемо t=0. Оскільки при t=0, координата кінця “поїзда” в своїй системі відліку дорівнює - , то час, на який годинник випереджує , дорівнює:

.

Але .

Т епер будемо спостерігати з поїзда. Ми побачимо скорчену “платформу”, яка “налітає” на “поїзд”. Для того, щоб точка порівнялась с точкою А необхідний час .

Для нас . Годинник В іде повільніше . Годинник А може випереджувати годинник В на час .

Таким чином

.

в) З точки зору спостерігача на “платформі” точка повинна проїхати відстань l₀ з швидкістю V, тому .

Годинник іде повільніше, ніж годинники в точках А і В, .

Годинник випереджає годинник А на час , тому .

З точки зору спостерігача в “поїзді”, для того, щоб голова “поїзда” зрівнялась з кінцем “платформи”, необхідно, щоб точка В пройшла відстань . Вона це зробить за час рівний . Це будуть покази годинників і . Покази годинника В будуть відрізнятися в β раз (β<1).

.

Годинник А випереджає В на час , тому .