МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Гаркуша В.В., Зюбанов О.Є.,

Пойманов В.Д., Юрченко В.М.

ПОСІБНИК ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

ЗАДАЧ З ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ

(основи векторного і тензорного аналізу, спеціальна теорія відносності та релятивістська механіка)

Рекомендовано до

видання рішенням ради

фізичного факультету ДонНУ

(протокол № від 27.06.2010 р.)

Донецьк 2010

УДК 53(075.34)

Збірник задач з електродинаміки: Навчальний посібник / Гаркуша В.В., Зюбанов О.Є., Пойманов В.Д., Юрченко В.М. -Донецьк: ДонНУ, 2010.-51с.

Зібрано задачі по спеціальній теорії відносності та основами векторного і тензорного аналізу. Перед кожною темою вміщено перелік основних теоретичних положень та формул. Збірник розрахований на студентів-фізиків, радіофізиків.

^{Рецензенти:}

д-р фіз.- мат наук, професор Любчанскій І.Л.

д-р фіз.- мат наук, с.н.с. Стефановіч Л.І.

Технічні редактори:

Передмова.

В даний збірник задач зібрано задачі, які на протязі останніх років розв’язувались на практичних заняттях при вивченні курсу електродинаміки студентами фізичного факультету. До збірника включено найбільш характерні і типові задачі курсу електродинаміки. Частина задач складена авторами, інші підібрані з різних збірників задач і відповідно перероблені. Всі задачі мають детальні розв’язки, тому даний збірник може бути рекомендований для самостійної роботи студентів. В даний збірник включено наступні розділи: основи векторного і тензорного аналізу, спеціальна теорія відносності та релятивістська механіка.

1. Основи векторного і тензорного аналізу.

В криволінійних ортогональних системах координат мають місце наступні тотожності:

в сферичній системі координат:

, , ;

, , ;

;

;

;

;

;

;

в циліндричній системі координат:

, , ;

, , ;

;

;

;

;

;

.

При любих і мають місце тотожності:

; ; .

Основні інтегральні теореми, які дозволяють перетворювати об’ємні, поверхневі і контурні інтеграли один в одного.

Теорема Остроградського-Гаусса:

,

де –деякий об’єм; - замкнута поверхня, яка обмежує цей об’єм.

Теорема Стокса:

де - замкнутий контур, - довільна поверхня, яка опирається на цей контур.

Задачі та їх розв’язання.

1. Два напрямки і в сферичній системі координат визначаються кутами , і , . Знайти косинус кута між ними.

Р озв’язання. Так як і - одиничні вектори, то їх скалярний добуток дорівнює: .

З другого боку:

.

З мал.1. видно, що:

,

,

,

,

,

.

З цих рівнянь можна знайти :

2. Довести, що коли в кожній системі координат і - тензор другого рангу, а - вектор, то - також вектор.

Розв’язання. В іншій системі координат цей вираз має вигляд .

Компоненти тензора і вектора виражаються через і в силу їх тензорних і векторних властивостей:

; .

Використовуючи ці формули знаходимо:

.

Таким чином компоненти величини при зміні системи координат перетворюються як компоненти вектора.

3. Показати, що компоненти тензора (символ Кронекера) являється тензором другого рангу.

Розв’язання. Якщо - тензор другого рангу, то мусить виконуватись рівність:

.

Так як

.

Таким чином, компоненти тензора інваріантні відносно всіх систем координат.

4. Довести, що величина є тензором другого рангу.

Розв’язання. Виконаємо наступні перетворення

.

Так як і є компонентами векторів: , .

Тоді отримаємо:

.

Ми отримали закон перетворення компонентів тензора другого рангу.

5. Довести, що властивість симетрії (антисиметрії) тензора зберігається при поворотах системи координат.

Розв’язання. При умові (симетричний тензор другого рангу). Покажемо, що і в новій системі координат . Використаємо тензорні властивості:

.

6. Довести, що коли тензор - симетричний, а тензор - антисиметричний, то .

Розв’язання. По умові ,

7. Довести, що сума діагональних компонент тензора другого рангу є інваріантом.

Розв’язання. Знайдемо суму діагональних компонент тензора в іншій системі координат

8. Нехай у всіх системах координат компоненти вектора лінійно виражаються через компоненти вектора : . Довести, що сукупність величин є тензором другого рангу.

Розв’язання. По умові , .

Використаємо наступні рівності:

, , .

Помножимо останню рівність на і використаємо властивість матриць : ; тоді

.

Можна записати, що і скоротимо на . Отримаємо

.

Це і є закон перетворення компонент тензора

9. Довести, що сукупність величин , де - тензор третього рангу, а - тензор другого рангу, являється вектором.

Розв’язання. Запишемо цей вираз в нових координатах:

10. Показати, що матриця нескінченно малого повороту системи координат ε може бути записана у вигляді ε=I+ε¹, де ε¹ - антисиметрична матриця ( ).

Розв’язання. Розглянемо довільний вектор в двох системах координат, які можна сумістити нескінченно малим поворотом. Матрицю такого перетворення представимо у вигляді і покажемо, що .

Довжина в обох системах координат однакова .

.

Ми використали властивість .

Звідси випливає, що тобто , оскільки є інваріантна величина.

11. Довести, що коли - ортогональна матриця перетворення, то при її транспонуванні отримаємо матрицю оберненого перетворювання.

Розв’язання. Розглянемо довільний вектор в двох ортонормованих базисах, які пов’язані між собою співвідношеннями:

; ; .

Розкладемо вектор по цим базисам:

; .

Прирівняємо праві частини

.

Помножимо цю рівність скалярно на

,

,

.

Якщо попередню рівність помножити на , то отримаємо

.

З цих рівностей і випливає твердження задачі.

12. Знайти рівняння лінії вектора .

Розв’язання. Поле плоске у всіх площинах ,тому лінії вектора будуть однакові. Вони визначаються із співвідношення:

.

Так як ; , то

.

Після інтегрування отримаємо

.

Покладаємо . Тоді рівняння лінії вектора матиме вигляд для всіх . Це сім’я кіл з радіусами . Вони лежать в площинах, паралельних площині x0y. Їх центри лежать на вісі z.

13. Підрахувати потік вектора через сферичну поверхню радіусом . Центр сфери співпадає з точкою .

Розв’язання. Потоком вектора через замкнуту поверхню називають скалярну величину

,

де - проекція вектора на напрям додаткової нормалі до площадки. Так як у задачі поверхня S- сферична і напрям вектора співпадає з напрямком радіус-вектора, то для всіх точок поверхні інтегрування.

Отже потік буде

.

14. Обчислити дивергенцію радіус-вектора прямокутній декартовій, сферичній, та циліндричній системах координат.

Розв’язання. В декартовій системі координат

,

де вектор має компоненти

В сферичній системі координат вектор має компоненти , тому

.

В циліндричній системі координат .

.

15. Довести наступні тотожності:

1. ;

2. ;

   1. ;

   2. .

Розв’язання. 1) Запишемо i-ту компоненту вектора в лівій частині:

.

Із рівності проекцій векторів в лівій і правій частинах випливає рівність самих векторів.

2) ;

3) .

Виконаємо перестановку індексів і отримаємо:

.

4. .

Остаточно маємо, що

.

16. Знайти: 1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання. Як відомо ,

1. 

2. Використаємо наступну тотожність, доведену в попередній задачі:

.

Тоді отримаємо:

.

3) Так як

17. Знайти дивергенцію та ротори таких векторів та , де і - постійні вектори.

Розв’язання. 1) .

.

Із рівності проекцій випливає і рівність самих векторів:

2). .

Звідси випливає, що

.

18. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Помножимо скалярно інтеграл на постійний вектор і використаємо теорему Гауса:

Так як вектор довільний, то

.

19. Інтеграл по замкненому контуру перетворити на інтеграл по поверхні, яка опирається на цей контур.

Розв’язання. Використаємо теорему .Стокса

.

Помножимо наш інтеграл скалярно на постійний вектор .

.

Виконаємо циклічну перестановку векторів , , :

.

Отже .

20. Довести, що компоненти антисиметричного тензора другого рангу при поворотах перетворюються як компоненти вектора.

Розв’язання. Тензор має вигляд:

.

Звідси видно, що , .

Таким чином у антисиметричного тензора третього рангу всього три незалежних компоненти: , , .

Позначимо їх так: , , .

Ці рівності можна записати в такому вигляді: , де -- повністю антисиметричний тензор третього рангу.

Але, так як є тензор третього рангу, а - тензор другого рангу, то величини являються компонентами тензора.

21. У всіх декартових системах координат задана сукупність величин , які мають такі властивості: при перестановці любих двох індексів змінює знак , .

Довести, що є псевдотензором третього рангу (повністю антисиметричний одиничним псевдотензором третього рангу).

Розв’язання. Із 27 величин відмінні від нуля лише шість:

.

Всі інші мають мінімум по два однакових індекси і тому в силу антисиметрії перетворюються в нуль: ( ).

Запишемо зв’язок між компонентами тензора в двох ортонормованих базисах:

Якщо і=1, k=2, l=3, то визначник дорівнює 1.

Якщо і=2, k=1, l=3, то визначник дорівнює –1.

Тому:

.

Компоненти тензора однакові у всіх системах координат.

При допомозі тензора можна записати вираз у формі , і вектори, а псевдотензор, компоненти якого не змінюють знак при інверсії. Так як теж не змінює знак, то не змінює знак і . Отже являється псевдотензором.

22. Довести, що , при .

Розв’язання.