Средние величины

Статистическое среднее в абстрактной форме выражения качественно определяет свойство явлений. В средних наиболее важной особенностью является то, что в ней взаимопогашаются и уничтожаются индивидуальные отклонения.

Средние величины связаны с двумя законами:

1. Закон внутреннего развития явления;

2. Закон больших чисел.

1. В среднем отражаются внутренние закономерности развития явления и способствующие выявлению установки этого закона.

2.Связь состоит в том, что по мере увеличения совокупности в средних расчеты для данной совокупности все в большей мере осуществляют гашение случайных отклонений.

Основные принципы и правила использования средних

1. Индивидуальные величины, из которых исчисляются средние, должны быть одного и того же вида, характеризовать одно и то же явление.

Средняя заработная плата в классовом обществе - понятие средней заработной платы существовать по определению не может, она может существовать только в отдельных социальных группах.

2. Общее среднее для однородных общественных явлений должно всегда дополнять индивидуальные значения, только в этом случае оно может характеризовать части целого.

Способы расчета средних величин. Существует несколько различных способов расчета средних:

1. среднеарифметический;

2. среднегармонический;

3. среднегеометрический;

4. среднеквадратичный;

Вопрос об использовании той или иной средней для расчета решается индивидуально в каждом конкретном случае, однако существуют общие правила использовании средних.

1. формула простой среднеарифметической

,

где Xi – индивидуальное значение;

n – число элементарных однородных совокупностей.

Если Xi в однородной совокупности будет повторяться, то расчет идет по формуле средней взвешивания:

,

где fi – частота повторений Xi

Используется в том случае, если при осреднении необходимо сохранить постоянной величину объёмного признака.

Свойства среднеарифметического:

• от уменьшения или увеличения всех вариантов усредняемой (Xi) величины в a раз средняя уменьшается или увеличивается во столько же раз;

• от увеличения или уменьшения веса каждого варианта в а раз значение средней не меняется;

• величина средней зависит не от самих абсолютных значений весов (fi), а от соотношений между ними, поэтому в вычислении вместо абсолютных значений весов можно брать соотношение между ними;

• если среднее значение умножить на число вариантов совокупностей, то получится сумма всех значений вариантов:

;

• сумма отклонений индивидуальных значений от среднеарифметического равно нулю:

;

• сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от среднеарифметического меньше, чем сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от любой величины:

.

2. 

Если значения повторяются, то .

Используется в случае если необходимо сохранить постоянную при осредненной величине, обратную значению объёмного признака.

.

3. ,

Используется в том случае, если значения осредняемых вариантов (Xi) сильно отличаются друг от друга по величине.

.

4. 

– для взвешивания

Общая формула:

,

где z – порядок средней [-1;…]

Если подсчитать для одной и той же совокупности различные средние, то можно убедиться, что:

Это правило называют правилом мажорантности.

Если речь идёт о вариационном ряде – однородная совокупность, у которой численные значения признаков расставляются либо по возрастанию, либо по убыванию (упорядоченно), – то численное значение моды рассчитывается по следующей формуле:

,

где – нижняя граница модального. интервала (второй интервал, в котором располагается модуль);

d – величина интервала;

– частота интервала, которая предшествует модальному;

– частота модального интервала;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – вариант вариационного ряда расположенная в его середине и делит вариационный ряд на две равные части по количеству единиц в сумме.

3 , 4, 5, 6, ,8, 9,10,11

В интервальном ряду сначала определяют медиальный интервал, а затем значение медианы вычисляют по формуле:

,

где – нижняя граница медиального интервала;

– сумма частот вариационного ряда;

– сумма накопленных частот интервалов, которые предшествуют медиальному интервалу.