Гипотеза о законе распределения

Одна из важных задач анализа вариационного ряда заключается в выявлении закономерности распределения и ее характере. Основной путь: настроить вариационный ряд для достаточно большой совокупности. Главное внимание при этом уделить выбору числа групп и размеру интервалов варьирующего признака.

Вариационный ряд может быть построен только для качественно однородных совокупностей.

Тип закономерности распределения вытекает из сущности, т.е. из тех его свойств, которые определяют вариацию изучаемого признака, поэтому необходимо выдвинуть гипотезу, обосновывающую определенный тип кривой распределения, которая может быть выражена в виде формулы, связывающей между собой частоты вариационного ряда и численное значение признака.

Yi=f(хi) – такая функция называется законом распределения для ряда.

Чаще всего используется тип распределения, который называют нормальным.

Кривая нормального закона распределения может быть построена по двум параметрам:

• среднеарифметическое µ₀;

• СКО σ.

Гипотеза о распределении заключается в том, что выдвигаются предположения о том, что распределение генеральной совокупности подчиняется какому-либо закону.

Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основе сравнения фактических частот предполагаемых теоретических частот сделать вывод о существовании фактического распределения. Где обязательно понимается закон нормального распределения.

Чаще всего обращаются к нормальному закону распределения, т.к. в этом типе распределения выражается закономерность, которая возникает при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния.

В предположении о нормальном законе распределения можно прибегать в случае, если рассчитанные значения среднего арифметического моды и медианы для до…… совокупности близки между собой.

Однако более полная и точная проверка соответствия распределения осуществляется с использованием специальных критериев, из которых наиболее употребляемым является критерий χ(хu) (Пирсон). Для проверки гипотезы по соответствию эмпирического распределения нормальному закону необходимо уловить частоты фактического распределения с частотами нормального распределения, то есть нужно по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой нормального распределения.

,

где – теоретическая частота;

n – объем выборки;

i – величина интервала варьируемого ряда.

Значения ординат кривой нормали распределения f(t) вычисляются по табличным функциям.

Альтернативная гипотеза: .

Для проверки гипотезы необходимо построить теоретический ряд распределения, что частотой , соответствующее нормальному закону, при тех же значениях параметров распределения, что и в эмпирическом ряде.

Методика построения теоретического ряда

1. По фактическому интервальному ряду вычисляются значения t (нормированные разности) для каждой группы.

– для начала и конца интервала.

2. Вычисляется вероятность попадания единицы наблюдения в данный интервал при выполнении гипотезы нормального закона.

,

.

3. Вычисляется теоретическая частота, в данной группе она равна произведению объема совокупности на вероятность попадания в данный интервал.

.

4. Вычисляется значение критерия Пирсона

,

где k – число категорий ряда распределения (число интервалов);

j – номер категории;

– частота эмпирического распределения (для j интервала);

– частота теоретического распределения.

Если группы имеют значения теоретических частот меньше 5, то их объединяют между собой, чтобы снизить влияние случайных ошибок.

Если все гипотезы равны, соотношение теоретических . Поэтому чем больше отличие эмпирической и теоретической гипотезы, тем больше χ, если расхождения в частотах не существует, то χ должно быть малым. Имеются специальные таблицы критических значений при 5% и 1%, критические значения зависят от уровня значимости и числа степеней свободы.

Число степеней свободы будет равно:

,

где k – число категорий (интервалов в данном ряду);

p – число связей, накладываемых на данные распределения).

В законе нормального распределения есть жесткие параметры σ и µ.