§ 3. Плоскость и прямая в пространстве.

3.1. Даны координаты точки и уравнение плоскости: . Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно плоскости нам необходимо провести через точку прямую , перпендикулярную этой плоскости и найти точку пересечения этой прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки .

И так, пусть имеем: точку = и плоскость : . Это определяет вектор = нормали плоскости. Так как этот вектор параллелен прямой , то его можно принять в качестве направляющего вектора прямой = в каноническом уравнении прямой: = = = . Одновременно запишем уравнение прямой в виде параметрических уравнений: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: → . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = .

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть заданы: точка =(1,0,1) и плоскость : . Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

Решение:

1) Выделим вектор нормали заданной плоскости: =(4,6,4)=2(2,3,2). Примем: =(2,3,2).

2). Решим уравнение: → = .

3). Вычислим координаты точки : = .

4). Вычислим координаты точки = =2 –(1,0,1)=(3,3,3).

Ответ: =(3,3,3).

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:		Вар.	Задание:
1.		.	16.		.
2.		.	17.		.
3.		.	18.		.
4.		.	19.		.
5.		.	20.		.
6.		.	21.		.
7.		.	22.		.
8.		.	23.		.
9.		.	24.
10.		.	25.		.
11.		.	26.
12.		.	27.		.
13.		.	28.		.
14.		.	29.		.
15.		.	30.		.

3.2. Даны координаты точки и уравнение прямой : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: .

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно прямой нам необходимо провести через точку плоскость , перпендикулярную этой прямой и найти точку пересечения прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки .

Итак, пусть имеем: точку = и прямую . Это определяет направляющий вектор прямой . Его можно принять в качестве вектора нормали плоскости : . Точка и вектор определяют плоскость . Представим уравнение прямой в параметрической форме: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: → . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = .

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть заданы: точка =(0,-3,2) и прямая : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: .

Решение:

1) Определим направляющий вектор прямой : =(1,-1,1). Тогда = =(1,-1,1).

2) Запишем уравнение плоскости : , или .

3). Представим уравнение прямой в параметрической форме: .

4). Решим уравнение: → = .

3). Вычислим координаты точки : = .

4). Вычислим координаты точки = =2 –(0,-3,2)=(1,1,1).

Ответ: =(1,1,1).

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:		Вар.	Задание:
1.		= = .	16.		= = .
2.		= = .	17.		= = .
3.		= = .	18.		= = .
4.		= = .	19.		= = .
5.		= = .	20.		= = .
6.		= .	21.		= = .
7.		= = .	22.		= = .
8.		= = .	23.		= = .
9.		= = .	24.		= = .
10.		= =	25.		= = .
11.		= = .	26.		= = .
12.		= = .	27.		= = .
13.		= = .	28.		= =
14.		= = .	29.		= = .
15.		= = .	30.		= = .

3.3. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые. Если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости. Если прямые скрещиваются, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельную второй прямой.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

П усть имеем уравнения двух прямых:

: = = ,

: = = .

Из уравнений прямых следуют координаты точек: = , = , и векторов: = , = .

Кратко представим названные условия задачи:

1*: Если прямые и параллельны, то || , то есть = .

2*: Прямые и пересекаются, если смешанное произведение: =0.

3*: Прямые и скрещивающиеся, если смешанное произведение: 0.

Рассмотрим продолжение решения задачи в каждом из возможных случаев.

Случай 1*. Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : .

Случай 2*. Если прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : .

Случай 3*. Если прямые скрещивающиеся, то примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение для : .

Замечание: в каждом из возможных случаев приходим к построению одной и той же плоскости: трудоёмкость вычислений и оформления во всех вариантах одинаковы.

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть заданы прямые : = = и : = = . Необходимо исследовать их взаимное положение и построить оговоренную плоскость.

Решение:

1) Из уравнений прямых следует: =(1,2,3), =(0,18,0), =(2,3,1), =(3,1,2).

2) Построим вектор: = – =(0,18,0)– (1,2,3)=(-1,16,-3).

3). Так как векторы и не параллельны, то и прямые и не параллельны.

4). Вычислим смешанное произведение векторов: = , применяя любой из способов вычисления определителя 3-го порядка. В рассматриваемом примере получаем: = =0 → прямые и пересекаются.

3). Примем для использования в уравнении плоскости : = =(1,2,3) и вычислим векторное произведение векторов и : = x = = = =(5,-1,-7).

4). Запишем уравнение требуемой плоскости : для рассматриваемого примера:

Ответ: прямые и пересекаются; уравнение плоскости: .

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:
1.	= = .	= = .
2.	= = .	= = .
3.	= = .	= = .
4.	= = .	= = .
5.	= = .	= = .
6.	= = .	= .
7.	= = .	= = .
8.	= = .	= = .
9.	= = .	= = .
10.	= = .	= = .
11.	= = .	= = .
12.	= = .	= = .
13.	= = .	= = .
14.	= = .	= = .
15.	= = .	= = .
16.	= = .	= = .
17.	= = .	= = .
18.	= = .	= = .
19.	= = .	= = .
20.	= = .	= = .
21.	= = .	= = .
22.	= = .	= = .
23.	= = .	= = .
24.	= = .	= = .
25.	= = .	= = .
26.	= = .	= = .
27.	= = .	= = .
28.	= = .	= = .
29.	= = .	= = .
30.	= = .	= = .