2.4. Виды частотного распределения

Рис. 15. Нормальное распределение

а) в)

Рис. 16. Асимметричные распределения:

а) левостороннее, в) правостороннее

а) в)

Рис. 17. Распределения с эксцессом:

а)положительным, в) отрицательным

Рис. 18. Бимодальное распределение

Алгоритм 2 построения таблицы сгруппированных частот

Данная таблица строится в случае, если признак принимает достаточно большое множество значений. Для этого необходимо:

1) найти размах варьирования значений х_max-x_min;

2) выбрать число интервалов m и длину интервала h (m можно найти разными способами: m , m и др., обычно число интервалов не менее 6);

3) определить границы интервалов;

4) подсчитать частоту встречаемости значений признака для каждого интервала; если значения попадают на границу двух интервалов, то их количество (частоту) распределить равномерно по двум соседним интервалам, или отнести везде только к одному, например, правому, или только к левому интервалу;

5) заполнить таблицу.

ПРИМЕР 1. Построить статистическое распределение выборки из 60 абитуриентов, для которых подсчитывалось число баллов, полученных на экзаменах:

20, 19, 22, 24, 21, 18, 23, 17, 20, 16, 15, 23, 21, 24, 21, 18, 23, 21, 19, 20, 24, 21, 20, 18, 17, 22, 20, 16, 22, 18, 20, 17, 21, 17, 19, 20, 20, 18, 22, 23, 21, 25, 22, 21, 20, 19, 21, 24, 23, 21, 19, 22, 21, 19, 20, 23, 22, 25, 21, 21.

Построить полигон относительных частот данного распределения.

Решение. Рассмотрим признак Х - число баллов, полученных абитуриентами на экзаменах и значения, которые он принимает. Получим следующий вариационный ряд: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Подсчитываем, сколько раз встречается каждое значение, и строим статистическое распределение в виде таблицы частот:

хi	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
ni	1	2	4	5	6	10	13	7	6	4	2

Для построения полигона частот на оси ОХ откладываем значения признака, на оси ОУ – абсолютные частоты. Затем наносим точки с координатами (х_i, n_i) и соединяем их последовательно отрезками. Полученная ломаная и является полигоном абсолютных частот.

ПРИМЕР 2. Пусть в группе испытуемых объемом 40 человек проведено тестирование, результаты которого уложились в пределы от 32 до 67 баллов. Построить таблицу сгруппированных частот и гистограмму относительных частот. Какое теоретическое распределение напоминает данное распределение?

Решение.

Определим размах варьирования значений 67 – 32 =35. Найдем число m 3, т.е. можно задать 6 интервалов длиной h = 35/6 5,8 5. Зададим границы интервалов: с 32 до 36, с 37до 41,…, с 62 до 66. Учитывая, что значение 67 не попало в интервалы и что лучше начинать с 30 или с 31 и заканчивать на 69 или 70, уточняем размах (70-30=40) и число разрядов (40/5=8). Тогда границы разрядов: с 30 до 34, с 35 до 39 …, с 65 до 69. По данным результатов тестирования (их приводить в данном примере не будем) подсчитывается частота встречаемости значений признака для каждого интервала. При необходимости можно найти относительные и накопленные частоты. В результате получаем следующую таблицу:

Частичные интервалы	Абсол. частота fa	Относит. частота fo	Накопленная частота fcum
30 – 34	1	0,025	0,025
35 – 39	2	0,05	0,075
40 – 44	5	0,125	0,2
45 – 49	8	0,2	0,4
50 – 54	10	0,25	0,65
55 – 59	8	0,2	0,85
60 – 64	4	0,1	0,95
65 - 69	2	0,05	1
Σ(сумма)	40	1	-

Построим гистограмму относительных частот. Так как длина h=5 одинакова для всех интервалов, то деление на h можно опустить, тогда высоты прямоугольников равны относительным частотам.

ЗАДАНИЯ для самоконтроля

1. Покажите на кругах Эйлера соотношение понятий генеральной и выборочной совокупностей?

2. Как различаются выборки в зависимости от объема?

3. Каковы основные требования к выборке?

4. Чем отличаются простой случайный и стратифицированный случайный отборы?

5. Что означает однородность выборки?

6. Студент получил на экзамене 8, 7, 8, 6 и 9 баллов. Образуют ли данные значения вариационный ряд?

7. Чем отличаются понятия частоты и относительной частоты?

8. В чем отличие статистического распределения выборки от распределения в теории вероятностей?

9. Сравниваются результаты сдачи экзаменов в сессию в двух группах студентов. Какие выборки здесь рассматриваются – зависимые или независимые?

10. Целесообразно ли строить полигон для непрерывного признака?

11. Как построить гистограмму для дискретного признака?

12. Что характеризует показатель асимметрии в распределении? В каком случае он бывает положительный. В каком – отрицательный?

13. Что характеризует показатель эксцесса в распределении? В каком случае он бывает положительный. В каком – отрицательный?

ЗАДАЧИ для самостоятельной работы

1. Выборка задана в виде распределения частот:

Х	108	110	111	113	114	117	121	122	128
n	4	10	14	16	19	15	12	6	4

а) Найти распределение относительных частот.

б) Построить полигон частот по данному распределению выборки.

в) Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки. Сравнить с полигоном частот.

2. Построить частотную таблицу и гистограмму частот для следующих данных, полученных у преподавателей по шкале удовлетворенности работой (используйте частичный интервал длиной h=5). Если большой показатель обозначает полное удовлетворение работой, а маленький – слабое, то как Вы можете охарактеризовать полученное распределение?

67, 63, 64, 57, 56, 55, 53, 53, 54, 54, 45, 45, 46, 47, 37, 23, 34, 44, 27, 44,45, 34, 34, 15, 23, 43, 16, 44, 36, 36, 35, 37, 24, 24, 14, 43, 37, 27, 36, 26, 25, 36, 26, 5, 44, 13, 33, 33, 17, 33.

Какое теоретическое распределение напоминает данное распределение?

Какая асимметрия присутствует в данном распределении?

РЕФЛЕКСИЯ