Тема 4.2 Определенный интеграл

1)Написание рефератов, докладов.

Виды несобственных интегралов и их сходимость

2)Исследовательская работа, решение задач.

Геометрические приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла

Пример 1. Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями y=x, y=1/ , y=0, x=3.

Решение. Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=0 и , x=3 и графиком функции, которая на отрезке [0, 1] равна x , а на отрезке [1, 3] равна 1/ . Записать первообразную такой функции нелегко. Поэтому разобьем данную криволинейную трапецию прямой x=1 на две части (рис.1). Площади этих частей легко найти по формуле (1):

.

С

огласно свойству аддитивности площади, S=

у

y=x

3

2

1

0

y=

х

рис. 1

? Вопросы для самопроверки

1.Что такое разбиение отрезка ?

2.Что такое интегральная сумма функции f(x) на отрезке?

3.Дайте определение определенного интеграла как предела интегральной суммы. Почему вместо λ нельзя писать n ?

4.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла. Докажите свойство для случая расположения точек b < c < a.

5.Перечислите оценки интегралов.

6.Пусть Следует ли отсюда, что f(x) на ?

7.Сформулируйте теорему о среднем.

8.Почему в формуле среднего значения точку c нельзя считать произвольной?

9.Приведите пример, когда формула справедлива для любой точки c .

10.Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции.

11.Всякая ли ограниченная функция интегрируема? Ответ обоснуйте примером.

12.Сформулируйте достаточное условие интегрируемости функции.

13.Приведите пример интегрируемой функции.

Контрольные задачи к разделу

4.2.1. Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой y= прямыми x= x=3 и осью .

4.2.2. Найдите площадь фигуры, заключенной между линиями y= и y=2x.

4.2.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и кривой y=4

Контрольные задачи к разделу «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»

Найдите производные сложных функций :

5.5.1. u = , z = sinx, y = ; = ?

5.5.2. z =ln( + ); найти a) , б) ,если x=

5.5.3. z = , x =asint , y =accost

5.5.4. p = , u = , v =3x 2y; =? =?

5.5.5. f(x) =arcsin , y = ; =?

Найдите дифференциал функций :

5.5.6. z = , где x =u v, y =

5.5.7. z = , где x = , y =u

5.5.8. z =cosxy , где x =u , y =v

5.5.9. z =arctgxy , где x = , y =u

5.5.10. z = , где x =u , y =u ctgv

? Вопросы для самопроверки

1. Дайте понятия частной производной.

2. В чем заключается геометрический смысл производной?

3. Дайте понятия полного дифференциала.

4. По какому правилу вычисляют частные производные сложных функций?

5. Правило нахождения дифференциала сложной функции.