2.3 Основное уравнение гидростатики

Из дифференциального уравнения равновесия Эйлера следует, что давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси z) оставаясь одинаковым во всех точках любой горизонтальной плоскости, так как изменения давлений вдоль осей х и у равны нулю. В связи с тем, что в этой системе уравнений частные производные равны нулю, частная производная может быть заменена на и, следовательно

. (1)

Отсюда

(2)

Разделив левую и правую части последнего выражения на и переменив знаки, представим это уравнение в виде

.

Для несжимаемой однородной жидкости плотность постоянна и, следовательно

,

или

.

Откуда после интегрирования получим

(3)

Для двух произвольных плоскостей 1 и 2 уравнение (3) выражают в форме

(4)

Уравнение (3) или (4) является основным уравнением гидростатики.

В уравнении (4) z₁ и z₂ – высоты расположения двух точек внутри покоящейся однородной капельной жидкости над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью отсчета (плоскостью сравнения), а р₁ и р₂ – гидростатические давления в этих точках.

Рис. 2.2.

Рассмотрим, например, две частицы, из которых одна расположена в точке 1 внутри объема жидкости на высоте z от произвольно выбранной плоскости сравнения О-О, а другая находится в точке 2 на поверхности жидкости – на высоте z_о от той же плоскости. Пусть р и р_о – давления в точках 1 и 2 соответственно. При этих обозначениях, согласно уравнению (4)

, (4а)

или

(4б)

Член z в уравнении гидростатики (3), представляющий собой высоту расположения данной точки над произвольно выбранной плоскостью сравнения, называется нивелирной высотой. Она, как и другой член этого уравнения , выражается в единицах длины

.

Величину называют напором давления, или пьезометрическим напором.

Следовательно, согласно основному уравнению гидростатики, для каждой точки покоящейся жидкости сумма нивелирной высоты и пьезометрического напора есть величина постоянная.

Члены основного уравнения гидростатики имеют определенный энергетический смысл. Так, выражение члена до сокращения характеризует удельную энергию, то есть энергию, приходящуюся на единицу веса жидкости . Аналогичный энергетический смысл получает и нивелирная высота, если ее выражение [м] умножить и разделить на единицу веса жидкости.

Таким образом, нивелирная высота z, называемая также геометрическим (высотным) напором, характеризует удельную потенциальную энергию положения данной точки над выбранной плоскостью сравнения, а пьезометрический напор – удельную потенциальную энергию давления в этой точке. Сумма указанных энергий, называемая полным гидростатическим напором, или просто статическим напором, равна общей потенциальной энергии, приходящейся на единицу веса жидкости.

Следовательно, основное уравнение гидростатики представляет собой частный случай закона сохранения энергии: удельная потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидкости есть величина постоянная.

Уравнение (4а) можно записать в форме

, (4в)

или

(4г)

Последнее управление является выражением закона Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема. Действительно, в соответствии с уравнением (4г) при любом изменении давления р_о в точке z_о давление р во всякой другой точке жидкости изменится настолько же.