2. Методические материалы для контроля знаний
2.1. Контрольные вопросы по теме «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»
1. Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами. Условие параллельности векторов.
2. Декартова система координат в пространстве. Действия над векторами, заданными своими координатами в декартовом базисе.
3. Проекция вектора на ось. Основные свойства проекций. Направляющие косинусы вектора.
4. Полярная система координат. Связь полярных координат с декартовыми.
5. Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве.
6. Расстояние между двумя точками в пространстве. Деление отрезка в данном отношении.
7. Скалярное произведение векторов: определение и свойства. Условие перпендикулярности двух векторов.
8. n-мерное векторное пространство Rn. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
9. Определение линейного пространства. Примеры.
10. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении вектора по базису в R3.
11.* Переход от одной системы координат к другой.
12. Векторное произведение векторов: определение и свойства; геометрический смысл.
13. Вычисление векторного произведения векторов. Условие коллинеарности векторов.
14. Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов, его свойства. Условие компланарности трех векторов.
15. Понятие уравнения линии. Параметрические уравнения линии.
16. Различные формы уравнения плоскости.
17. Различные формы уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
18.Угол между двумя прямыми. Условия их параллельности и перпендикулярности.
19. Угол между двумя плоскостями. Условия их параллельности и перпендикулярности.
20. Угол между прямой и плоскостью.
21. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы. Исследование их формы.
22. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы.
23. Поверхности второго порядка.
24.* Собственные значения и собственные векторы симметрических матриц.
25.* Приведение кривой второго порядка к каноническому виду.
2.2. Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия»
Составить каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки M1(2,3,1) и M2(4,1,1).
Составить уравнении прямой, перпендикулярной плоскости π: y + 2z + 1 = 0 и проходящей через точку M0 (2,-1,3).
Выяснить, при каком значении параметра k прямая L:
и плоскость π:
3x+2y-z+1=0:
a)
параллельны; б) перпендикулярны. Найти
угол между прямой L
и плоскостью π
, если k=1.Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее: 36x2+9y2-72x+18y+9=0. (1.22)
Образец выполнения контрольной работы
Решение заданий 1–3 приведено в примерах 1.7–1.9.
Ход решения задания 4 повторяет ход решения примера 1.14. Сначала в уравнении (1.22) выделяем полный квадрат:
36(x-1)2+9(y+1)2=36. Отсюда получаем: (x-1)2+ (y+1)2/4=1.
Т
ем
самым, уравнение определяет эллипс с
центром в точке (1,-1) и полуосями a=1,
b=2.
Зная центр и полуоси, легко построить
эллипс (рис. 1.28).