2. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим расстояние между фокусами через 2с, постоянную величину – через 2а, причем 2а<2с. Каноническая система координат строится так же, как для эллипса. В этой системе координат для любой точки гиперболы М(х,у) по определению |MF₁| - |MF₂|=±2a (см. рис. 1.22).

x

b

-b

Записывая это условие в координатной форме, упрощая и вводя величину b²=c² - a², можно получить каноническое уравнение гиперболы

(1.19)

Исследуем форму гиперболы, исходя из ее уравнения.

1. Уравнение (1.19) содержит только четные степени х и у. Поэтому гипербола имеет две оси симметрии Ох и Оу. Точка их пересечения называется центром гиперболы.

2. Выразим у из (1.19):

Для всех точек (x,y) гиперболы |х|≥а, поэтому в полосе -а<х<а точек кривой нет. Значит, гипербола состоит из двух отдельных частей, которые называют ветвями гиперболы.

Точки А₁(а,0) и А₂(-а,0) называются вершинами гиперболы. Это точки ее пересечения с фокальной осью F₂F₁. Числа 2а и 2b называются, соответственно, ее действительной и мнимой осями.

3. Величина ε= называется эксцентриситетом гиперболы. Так как с>a, то ε>1.

4. Прямоугольник D={-a≤x≤a, -b≤y≤b} называется характеристическим прямоугольником. Все точки гиперболы расположены вне D. Прямые у= являются асимптотами гиперболы (см. рис.1.22).

Замечание 1. Гипербола называется равносторонней, если а=b.

Замечание 2. Если центр гиперболы находится в точке О₁(х₀,у₀), то ее уравнение: .

III. Парабола

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой L, называемой директрисой (точка F не лежит на L).

Р асстояние от фокуса до директрисы обозначим через p. На рис.1.23 представлена каноническая СК, в которой уравнение имеет вид y²=2px (рис. 1.23). Точка О(0,0) является вершиной гиперболы. По определению параболы |ММ₁|=|MF|

Задание 1. Записать последнее равенство в координатной форме. Упрощая его, получить каноническое уравнение параболы в виде y²=2px (рис1.23).

Задание 2. Исследуя последнее уравнение, получить свойства параболы. Построить график.

Замечание1. Если вершина параболы лежит в точке (x₀,y₀), то ее уравнение имеет вид (y-y₀)²=2p(x-x₀).

Замечание2. Графиком функции y=ax²+bx+c является парабола. Выделяя полный квадрат, ее можно в виде y=a(x+b/2a)²+(c-b²/4a). Вершина этой параболы имеет координаты x₀=-b/2a, y₀=c-b²/4a, а ось симметрии параллельна оси Оy.

Краткие сведения об основных (невырожденных) кривых второго порядка приведены в таблице 4 приложения 1.

1.6. Конические сечения

Эллипс, гипербола и парабола – кривые второго порядка. Алгоритм их построения и свойства различны. Эллипс ограничен, лежит целиком внутри характеристического прямоугольника, имеет два фокуса. Гипербола неограниченна, лежит вне характеристического прямоугольника, имеет два фокуса и две асимптоты. Парабола неограниченна, имеет один фокус и не имеет асимптоты. Эти свойства мы получаем, используя их канонические уравнения в декартовой СК: x²/a²+y²/b²=1 для эллипса, x²/a²-y²/b²=1 для гиперболы, y²=2px для параболы. С виду эти три уравнения (как и сами кривые) совершенно различны, но еще математиками Древней Греции было известно, что столь различные кривые являются коническими сечениями, т.е. их можно получить как сечения конической поверхности плоскостью, не проходящей через ее вершину.

Легко увидеть это можно с помощью карманного фонарика, если направлять его под разными углами на ровную площадку. В приложении 2 построены графики различных конических сечений в ППП Mathcad.

В соответствии с небесной механикой, все тела в солнечной системе движутся вокруг Солнца по эллипсам, так же как и спутники вокруг своих планет. Кометы и астероиды, пришедшие из других звездных систем, движутся по гиперболам или параболам (в зависимости от скорости). Значит есть единый закон, управляющий движениями всех небесных тел. Таким законом является закон всемирного тяготения. А разница в форме траекторий зависит от начальной скорости тела (уравнения траекторий выводится математически).

Уравнение эллипса, гиперболы и параболы можно рассмотреть в полярной СК. Если выбрать полярную СК так, чтобы ее полярная ось совпадала с фокальной осью кривой, а полюс совпадал с ее фокусом, то уравнения всех кривых второго порядка будут одинаковы по форме: r=ρ(1-ε∙cosφ) (для гиперболы это уравнение одной ветви). Иллюстрацией служит рис. 1.24, на котором дополнительно показана директриса NK, расстояние точки М до нее |МК|=В и расстояние |МF|=А. Еще в Древней Греции ( II век до н. э.) было известно, что ε=А/В, где ε – эксцентриситет кривой.

В приложении 2 приведена программа в Mathcad, в которой реализован анимационный клип, показывающий процесс трансформации окружности (ε=0) в эллипс (0<ε<1), затем параболу (ε=1), а потом – гиперболу (ε>1).

Вращая каждую из трех кривых второго порядка вокруг ее фокальной оси, мы получаем поверхности, называемые, соответственно эллипсоидом, параболоидом и гиперболоидом вращения (см. п. 1.7). Интересны свойства зеркал, изготовленных в форме перечисленных поверхностей. Поместим источник света (или звука) в фокус поверхности. Эллиптическим зеркалом лучи будут «переданы» в другой фокус. Гиперболическим зеркалом лучи преобразуются в расширяющийся пучок, причем такой, что у наблюдателя возникает иллюзия, будто они выходят из второго фокуса. Параболическим зеркалом лучи преобразуются в поток параллельных лучей (принцип устройства фар, прожектора). Определяется такое различие значением «управляющего» параметра ε.