1.5. Кривые второго порядка

Определение. Линия, определяемая уравнением второго порядка (в декартовой СК), называется кривой второго порядка.

В общем случае уравнение кривой второго порядка на плоскости Оху имеет вид:

Ах²+ Вху + Су² + Dx + Ey + F = 0. (1.15)

Основными кривыми второго порядка являются эллипс, гипербола, парабола, окружность.

I. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которой до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Чтобы получить уравнение эллипса на плоскости (в удобной форме). строят его каноническую декартовую систему координат.

Ось Ох проводят через фокусы F₁ и F₂, а начало координат О помещают в середину отрезка с концами F₁ и F₂.

Обозначим расстояние между фокусами 2с. Тогда фокусы имеют координаты F₂(-с;0) и F₁(с;0) (рис. 1.20)

Д ля произвольной точки эллипса М(х,у) по определению сумма ее расстояний до фокусов постоянна |MF₁|+|MF₂|=2a. Обозначая эту сумму через 2а, имеем:

Запишем последнее условие в координатной форме: .

Упрощая и вводя величину b²= a²– c² >0, получим каноническое уравнение эллипса:

. (1.16)

Подробные выкладки см., например, в [1], §24

На примере эллипса покажем, как знание аналитического способа задания геометрического объекта может быть использовано при исследовании его формы.

Пример 1.10. Исследовать форму эллипса по его каноническому уравнению (1.16).

Уравнение эллипса содержит только четные степени х и у. Это значит, что если какая-нибудь точка М₁(х,у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки М₂(х,-у), М₃(-х,у) и М₄(-х,-у), симметричные точке М(х,у) относительно осей Ох и Оу, соответственно. То есть эллипс имеет две оси симметрии, совпадающие с осями координат. Эти оси называются осями эллипса, точка их пересечения – его центром.
Исследуем форму эллипса в первой четверти. Определим у из уравнения (1.15) у= . При возрастании х от 0 до a величина у уменьшается от b до 0.
Учитывая симметрию эллипса, видим, что он имеет форму, изображенную на рис. 1.20. Числа 2а и 2b называются большой (фокальной) и малой осью эллипса, а числа а и b – большой и малой полуосями. Точки А₁(а, 0), А₂(-а, 0), В₁(0, b) и B₂(0, -b) называются вершинами эллипса.
Так как , то все точки эллипса находятся внутри характеристического прямоугольника {-а≤х≤а, -b≤y≤b}
Отношение ε называется эксцентриситетом эллипса. Так как с < a, то 0 < ε < 1. Величина эксцентриситета влияет на форму эллипса: чем ε меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.

В предельном случае при a= b, с=0 получается окружность радиуса а: х²+у²=а².

Если центр эллипса смещен в точку С(х₀,у₀), то в уравнении (1.16) х заменяется на х-х₀, у – на у-у₀, и уравнение принимает вид:

В частности, уравнение окружности с центром в точке С(х₀,у₀) имеет вид (х-х₀)²+( у-у₀)²= R².

Более общее уравнение второго порядка

Ax²+Bxy+Сy² + Dx+ Ey+ F= 0 (1.17)

задает эллипс, если ∆=AC-B²>0, F< .

Его можно привести к каноническому виду, если в уравнении (1.17) выделить полные квадраты по х и у, определить координаты центра С(х₀,у₀) и сделать замену х-х₀= х₁, у-у₀= у₁. Покажем это на примере.

Пример 1.10. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка x²+4y²-2x+4y-2=0. Определить вид кривой, ее центр, полуоси, фокусы, эксцентриситет. Построить кривую.

Решение. Выделим в уравнении полные квадраты по х и у:

х²-2х+1+4(у²+у+)-2-2=0

(х-1)²+4(у+0,5)²=4

Получили уравнение эллипса с центром в точке С(1;-0,5) и полуосями а=2, b=1. Перенеся начало координат в точку С(1;-0,5), получим каноническое уравнение

Большая полуось эллипса а=2, малая b=1. Вычислим с== и эксцентриситет ε= .