1.4 Углы между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями

1. При нахождении углов между двумя прямыми в пространстве надо учесть, что этот угол не зависит от координат конкретных точек, входящих в уравнения прямых, а зависит лишь от их направляющих векторов, которые мы должны найти из уравнений прямых.

Р ассмотрим две прямые L₁ и L₂ с направляющими векторами (l₁,m₁,n₁) и (l₂,m₂,n₂).

Независимо от формы, в которой заданы уравнения прямых, угол между ними определяется через угол между векторами и . На рис. 1.16 для прямых L₁ и L₂ (лежащих в одной плоскости) показаны угол φ между ними и угол ψ между их направляющими векторами. Возможны два случая: ψ=φ или ψ+φ=π. Поэтому

cosφ=|cos( ∙ )|=|l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂| / ( ∙ );

(косинус угла вычисляем по формуле из табл. П1).

2. Аналогично, угол между двумя плоскостями π₁ и π₂ независимо от формы, в которой заданы их уравнения, определяется через угол между их нормалями (A₁, B₁, C₁) и (A₂, B₂, C₂) (см. рис. 1.17):

cosφ=|cos( ∙ )|= (A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂) / ( ∙ );

О тсюда в качестве следствия получаем условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

L₁//L₂ // и L₁┴L₂ ┴ ∙ =0.

Чтобы записать эти условия в координатной форме, используем условия параллельности и перпендикулярности из таблицы П.1. Получим:

L₁ //L₂ l₁/l₂ = m₁/m₂ = n₁/n₂ (1.9)

L₁┴ L₂ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0 (1.10)

Отсюда в качестве следствия получаем условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей:

1) ₁ // ₂ // 2) ₁ ┴ ₂ n₁ ┴ n₂ n_1∙ n₂=0.

В координатной форме эти условия имеют вид:

₁ // ₂ A₁ /A₂ = B₁ /B₂ = C₁ /C₂ (1.11)

₁ ┴ ₂ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ =0 (1.12)

Видим общность формул (1.9) и (1.11), а также (1.10) и (1.12).

3. Углом между прямой L и плоскостью π называется наименьший из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Заметим, что φ [0, π/2]. Пусть для прямой L известен ее направляющий вектор =(l,m,n), а для плоскости π – ее нормальный вектор =(A,B,C) (тип уравнений, задающих плоскость и прямую, снова не важен).

Легко определить косинус угол φ между векторами и . Сумма углов φ+ψ равна π/2 или π/2+π=3π/2, поэтому по формулам приведения:

sinφ=|cosψ|=(Al+Bm+Cn) / ( ∙ ) = a (1.13)

так как φ [0, π/2] , то φ=arcsin(a).

4. Продолжая рассуждения, получаем условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости:

1) L // π ┴ ∙ =0

2) L _┴ π //

Записывая эти условия в координатной форме, получаем:

L // π Al + Bm + Cn = 0

L _┴ π A/l = B/m = C/n . (1.14)

Справочные сведения о взаимном расположении прямых и плоскостей приведены в табл. 3 приложения 1. Там же представлены сведения о взаимном расположении двух прямых на плоскости.

Пример 1.8. Составить уравнение прямой L, перпендикулярной плоскости π: y+2z+1=0 и проходящей через точку M₀ (2,-1,3).

Решение. По уравнению плоскости π определяем ее вектор нормали

= (A,B,C) = (0,1,2). Прямая L // тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор =(l,m,n) параллелен вектору . Возьмем в качестве вектора вектор . Подставим координаты точки M₀ и вектора = (0,1,2) в каноническое уравнение прямой (1.7):

L: (x-2)/0 = (y+1)/1 = (z-3)/2.

Пример 1.9. Выяснить, при каком значении параметра К прямая L: (x-1)/2 = y/К = (z+2)/0 и плоскость π: 3x + 2y - z +1=0

а) параллельны; б) перпендикулярны.

Найти угол между прямой L и плоскостью π, если К= -1.

Решение. Из уравнения прямой L определяем ее направляющий вектор =(2,K,0), а из уравнения плоскости π – вектор нормали =(3,2,-1).

Используя условия (1.14) параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, получаем:

а) L // π ∙ =0 6+2К=0, т.е. К=-3

б) L ┴ π // , т. е. 2/3=К/2=0/-1.

Но 2/3≠0, поэтому ни при каком значении К прямая L не перпендикулярна плоскости π.

Определим угол между прямой L (при К=-1) и плоскостью по формуле (1.13):

sin φ = (3∙2+2∙(-1)+(-1)∙0) / ( )= ; φ = arcsin( ).

5 . Расстояние от точки М₀ до плоскости π определяем как кратчайшее расстояние от точки М₀ до точек плоскости. Оно измеряется длиной а перпендикуляра ММ_0, опущенного из точки М₀ на плоскость π (рис. 1.19). Если плоскость задана уравнением Ax + By +Cz +D=0, а точка М₀ –координатами (x₀,y₀,z₀), то расстояние от точки до плоскости равно: d = |Ax₀ +By₀ + Сz₀ +D| / .

Аналогично, расстояние от точки М₀ (x₀,y₀) до прямой Ax + By + C=0 на плоскости Oxy равно d = |Ax₀ +By₀ + С| / .