1.3. Различные формы уравнения прямой

1 . Векторное уравнение прямой в пространстве

Положение прямой L в пространстве можно задать точкой M_о(x₀, y₀, z₀), лежащей на прямой, и вектором =(l,m,n), коллинеарным прямой L. Возьмем произвольную (текущую) точку прямой M(x, y, z). Обозначим через вектор r₀ радиус – вектор (см. рис. 1.14). Точка М α тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен направляющему вектору , т.е. существует такое число t (параметр), что вектор =t∙ . Меняя параметр t от -∞ до +∞, получим те и только те точки М, которые лежат на прямой L. Учитывая, что вектор = - , получим векторное уравнение прямой в пространстве:

- = t∙ . (1.5)

2. Параметрические уравнения прямой в пространстве и на плоскости

Перейдем в уравнении (1.5) к координатам, учитывая, что

= - = ( x-x₀ ,y-y₀ , z-z₀ ), а вектор =(l,m,n)

Получим параметрические уравнения прямой в пространстве

x-x₀ =lt x =lt + x₀

L: y-y₀ =тt или L: y =тt + y₀ (1.6)

z-z₀ =nt z =nt + z₀ t (-∞; +∞).

Уравнения (1.6) имеют не только геометрическую, но и механическую интерпретацию. Пусть в начальный момент t=0 точка вышла из положения М₀ и движется по прямой со скоростью =(l,m,n). Тогда в момент времени t ее координаты можно рассчитать по формулам (1.6).

П араметрические уравнения прямой на плоскости получаем из (1.6) при z=z₀, n=0: x=x₀+lt

y=y₀+mt

3. Каноническое уравнение прямой

Исключая параметр t из (1.6), получим каноническое уравнение прямой в пространстве:

(x-x₀)/l = (y-y₀)/m =(z-z₀)/n (1.7)

и, соответственно, на плоскости: (x-x₀)/l = (y-y₀)/m.

4 . Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки м1(x1,y1,z1) и м2(x2,y2,z2) в пространстве

Рассмотрим вектор

= (x₂-x₁, y₂ -y₁, z₂ -z₁). Этот вектор можно взять за направляющий вектор прямой L, т.е. считать вектор = .

Подставив в уравнение (1.7) известную точку M₁=(x₁,y₁,z₁) и вектор = , получаем уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки:

(x -x₁ )/(x₂-x₁ )= (y-y₁ )/ (y₂-y₁ )=(z-z₁ )/(z₂-z₁ ) (1.8)

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁=(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂) на плоскости, имеет вид: (x -x₁ )/(x₂-x₁ )= (y-y₁ )/ (y₂-y₁ ).

Справочные сведения о видах прямых представлены в табл. 2 приложения 1.

Пример 1.7. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(2,3,1) и М₂(4,1,1).

Решение. Подставим координаты точек М₁ и М₂ в (1.8):

(x-2)/2 = (y-3)/-2= (z-1)/0 (= t).

В правой части этого выражения нет деления на ноль, это лишь условие пропорциональности. Смысл прояснится, если записать уравнения этой прямой в параметрической форме:

x=2+2t

y=3-2t

z=1+0t

Соответствующий образ – прямая, лежащая в плоскости z=1.