1.2. Геометрические образы линейных уравнений в пространстве и на плоскости

Простейшие геометрические объекты – прямые и плоскости. Покажем, что им соответствует простейшие уравнения – линейные.

Теорема 1. Всякой плоскости в пространстве с заданной прямоугольной декартовой СК соответствует уравнение первой степени относительно х, y, z, и обратно: всякому линейному уравнению соответствует некоторая плоскость

Доказательство. Любая плоскость π задается вектором нормали к ней = (A, B, C) и какой-либо точкой M_о(x₀, y₀, z₀) π. Любая другая точка M(x, y, z) π тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны. Условием ортогональности векторов является (см. табл. П.1) равенство нулю их скалярного произведения (рис. 1.10)

M π ↔

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (1.1)

Упрощая, получим общее уравнение плоскости в виде

Ax +By + Cz + D = 0 (1.2)

Обратно, пусть дано линейное уравнение (1.2). Рассмотрим какую-либо точку M(x₀, x₀, z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1.2),т.е.

A x₀ + B x₀+ C z₀ + D=0 (1.3)

Вычитая уравнение (1.3) из (1.2), получим:

A (x-x₀) + B (y-y₀) + C (z-z₀) = 0

По доказанному выше, это уравнение задает плоскость, проходящую через точку M₀ и имеющую нормальный вектор =(A,B,C)

Аналогично доказывается

Теорема 2. Всякой прямой на плоскости с заданной декартовой СК соответствует уравнение первой степени относительно x,y и, наоборот, всякому линейному уравнению соответствует некоторая прямая.

Задание 1. Какой геометрический образ соответствует уравнению x+y-1=0 а) на плоскости; б) в пространстве? Сделайте чертеж.

П ример 1.4 (уравнение плоскости в отрезках).

Пусть известны отрезки a,b,c, отсекаемые плоскостью на координатных осях (рис. 1.11). Подставим координаты точки М₁ (а,0,0) в уравнение (1.2): Aa + D =0, A=-D/a. Аналогично, B= -D/b, C= -D/c.

Сокращая на D, получаем уравнение плоскости в отрезках:

x/a+y/b+z/c=1 (1.4)

Аналогично получается уравнение прямой на плоскости (в отрезках) (рис. 1.12): x/a + y/b=1.

П ример 1.5. Уравнение плоскости π. происходящей через три заданные точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃).

Возьмем произвольную точку M(x,y,z) и образуем три вектора (рис.1.13):

= (x -x₁, y-y₁, z-z₁),

=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁),

= (x₃ -x₁, y₃ -y₁, z₃ -z₁)

Точка М π векторы , , лежат в одной плоскости π их смешанное произведение равно нулю (см. табл. П.2.), т. е. выполнено условие компланарности трех векторов:

x -x₁ y-y₁ z-z₁

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ = 0.

x₃ -x₁ y₃ -y₁ z₃ -z₁

Пример 1.6 (прямая в пространстве как линия пересечения двух плоскостей).

Рассмотрим две пересекающиеся плоскости, заданные уравнениями:

А₁х + В₁у + С₁z + D₁=0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂=0.

Пересечением этих плоскостей будет прямая, координаты точек которой являются решениями системы:

А₁х +В₁у+С₁z+D₁=0

А₂х +В₂у+С₂z+D₂=0.

Основные справочные сведения о видах прямых и плоскостей приведены в табл. 2 прил. 1.