Решение задач аналитической геометрии в Mathcad.

Задача 1. Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей.

.

Возможный путь решения в Mathcad:

• составьте нормальные векторы заданных плоскостей:

ввод координат векторов производится с помощью панели Matrix

• убедитесь, что нормальные векторы плоскостей неколлинеарны:

переменная ORIGIN задает начальное значение индекса координат векторов

используйте панель Boolean. Значение 0 говорит о том, что векторы неколлинеарны.

• найдите направляющий вектор искомой прямой:

• возьмите какую-нибудь точку на прямой, решив систему уравнений

используйте панель Symbolic

• составьте каноническое уравнение искомой прямой:

или

Задача 2. Изобразите сечения конической поверхности:

• задайте количество значений по оси абсцисс и оси ординат:

• з

  Переменные i, j принимают набор значений от 0 до 50

  адайте индекс i по оси Ox и индекс j по оси Oy:

• наберите формулы для угла, координат, радиуса:

Для того , чтобы указать индекс используйте знак квадратная скобка [

• изобразите коническую поверхность:

• изобразите различные сечения конической поверхности:

В сечении получили окружность

В сечении получили эллипс

Q(X,Y):=2X + 2

В сечении получили параболу

В сечении получили гиперболу

Задача 3. Трансформации окружности (ε=0) в параболу (ε=1) и гиперболу (ε>1).

MathCAD имеет встроенную переменную FRAME, чье единственное назначение - управление анимациями.

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид , где – полярные координаты произвольной точки линии, – фокальный параметр, – эксцентриситет: в случае эллипса, для окружности , для гиперболы , в случае параболы . Средствами MathCAD, взяв эксцентриситет в качестве встроенной переменной FRAME,которая изменяется от 0 до 2, мы можем произвести анимацию. Результаты реализации представлены ниже:

Фрагменты анимационного клипа:

1) Окружность (ε=0) 2) Парабола (ε=1)

3) Асимптоты гиперболы (ε>1).

В зависимости от значения, принимаемого переменной FRAME (в нашем случае это эксцентриситет ), получаются различные кривые второго порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ……………………………………………………………………….3

1. Стандартные задачи и основные положения теории……………………...4

1.1. Метод координат. Уравнения линий и поверхностей……………..4

1.2. Геометрические образы линейных уравнений в пространстве и на плоскости…………………………………………..8

1.3. Различные формы уравнения прямой……………………………..11

1.4. Углы между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями…13

1.5. Кривые второго порядка……………………………………………16

1.6. Конические сечения………………………………………………...22

1.7 Поверхности второго порядка………………………………………24

2. Методические материалы для контроля знаний…………………….……29

2.1. Контрольные вопросы по теме «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»……….………...……………….29

2.2. Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия»………30

2.3. Варианты заданий для самостоятельной работы…………………31

Библиографический список…………………………………………………..37

Приложение 1. Справочные таблицы…..…………………………….……...38

Приложение 2. Решение задач аналитической геометрии в MathCad….....42

Учебное издание

Ирина Эдуардовна Симонова

Ирина Александровна Тарасова

Борис Витальевич Симонов

Анастасия Александровна Ермакова