Лекция IV-Д-4

Глава IX. Теоремы об изменении момента количества движения материальной точки и об изменении кинетического момента механической системы

§ 53. Моменты количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси

В разделе «Статика» (§ 44 и 45) введены и широко использованы понятия моментов силы относительно точки и относительно оси. Так как количество движения материальной точки является вектором, то можно определить его моменты относительно центра и относительно оси таким же путем, как определяются моменты силы.

М омент количества движения точки М относительно центра О (рис. 119, а) представляет собой вектор l_o, направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор и центр О в ту сторону, откуда вектор относительно центра О виден направленным против вращения часовой стрелки. Модуль вектора l_o равен произведению величины на плечо h вектора относительно центра О:

(53.1)

Момент количества движения можно определить векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из центра О в точку М, на вектор количества движения :

. (53.2)

Момент L_z количества движения точки М относительно оси Z (рис. 119, б) равен взятому со знаком плюс или минус произведению проекции вектора на плоскость I, перпендикулярную к оси Z, на плечо этой проекции относительно точки О пересечения оси Z с плоскостью I:

, (53.3)

причем , если, смотря навстречу оси Z, можно видеть проекцию относительно точки О, направленной против вращения часовой стрелки, и - в обратном случае.

Моменты количества движения точки относительно центра О и относительно оси Z, проходящей через этот центр, связаны зависимостью (ч. I, «Статика», § 46):

, (53.4)

т. е. проекция момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра на ось, проходящую через этот центр, равна моменту количества движения точки относительно этой оси.

Аналитические выражения моментов количества движения точки относительно осей координат (ч. I, «Статика», § 47) имеют вид:

(53.5)

где x, у, z - координаты движущейся точки М; - проекции скорости точки М на оси координат (рис. 119, в).

§ 54. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

Предположим, что движение материальной точки М происходит под действием силы (Р) (рис. 120).

П роведем из произвольного центра О в точку М радиус-вектор и определим момент силы (Р) относительно этого центра по формуле из статики:

Определим также момент количества движения точки М относительно центра О по формуле (53.2):

Чтобы установить зависимость между моментом количества движения точки L_o и моментом силы М_о, следует найти производную по времени от момента количества движения:

Здесь ,

Пользуясь этими выражениями, получаем

Так как угол (v, mv) = 0,

то

тогда или (54.1)

Если на материальную точку действуют несколько сил, то М_о следует рассматривать как момент их равнодействующей. Заменим М_о геометрической суммой моментов составляющих сил: (54.2)

Соотношение (54.2) выражает теорему об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.

Так как проекция векторной производной на любую ось равна производной от ее проекции на эту ось (см. ч. I, «Кинематика», §80), то, проектируя векторное равенство (54.2) на оси х, у, z получим три равенства:

, , (54.3)

Здесь согласно (53.4) L_x, L_y, L_z - моменты количества движения точки М относительно осей координат, a - моменты силы относительно этих же осей.

Равенства (54.3) выражают теорему об изменении момента количества движения точки относительно оси: производная по времени оm момента количества движения материальной точки относительно некоторой неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси.

Следствия из теоремы: 1. Если линия действия равнодействующей приложенных к материальной точке сил все время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным.

Из уравнения (54.2) следует, что если То и (54.4)

Примером, иллюстрирующим это следствие, может служить движение материальной точки под действием центральной силы.

Центральной силой называется сила, линия действия которой за время движения проходит через некоторый центр, а модуль зависит от расстояния между этим центром и точкой приложения силы.

Положим, что линия действия центральной силы Р за время движения проходит через центр С (рис. 121). Тогда и

Из этого следует, что плоскость, проходящая через вектор количества движения точки и центр С, не изменяет своего положения, т. е. траектория точки лежит в одной плоскости.

2. Если момент равнодействующей приложенных к материальной точке сил относительно некоторой оси все время равняется нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси остается постоянным.

Из уравнения (54.3) следует, что если, например, ,

то и . (54.5)