1. Теорема о движении центра масс механической системы:

§ 43. Теорема о движении центра масс механической системы

Рассмотрим движущуюся систему материальных точек М₁ М₂,…, М_k,…, М_п, находящихся под действием системы внешних и внутренних сил (рис. 102).

Просуммируем уравнения системы (2):

(3)

где -

главный вектор внешних сил

-

главный вектор внутренних сил

по свойству внутренних сил всегда равен 0.

Преобразуем левую часть уравнения (3):

(4) где М - масса всей системы,

- ускорение центра масс механической системы.

Тогда в целом уравнение (3) примет вид:

или (I) (1.1)

т. е. произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил.

Уравнение (1.1) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом:

Теорема о движении центра масс механической системы:

Центр масс механической системы движется как материальная точка (С) с массой (М), равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы (R^e), действующие на систему.

Если спроецировать это векторное равенство (1.1) на оси координат, то получим систему дифференциальных уравнений движения центра масс механической системы в декартовой системе координат:

(1.2) , где проекции радиус-вектора на оси координат, проекции главного вектора внешних сил на оси координат.

Из этих уравнений (1.2) следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс.

Однако, не оказывая непосредственное влияние на движение центра масс, внутренние силы в ряде случаев являются причиной появления внешних сил, приложенных к системе. Так, например, внутренние силы, приводящие во вращение ведущее колесо локомотива, вызывают действие на него внешней силы сцепления, приложенной к ободу колеса.

В изменяемой системе материальных точек внутренние силы, вызывая их движение, изменяют их взаимное расположение, не изменяя положения центра масс всей системы. Отсутствие внутренних сил в уравнениях (1.1) и (1.2), выражающих теорему о движении центра масс, придает им большое практическое значение.

Из кинематики известно, что поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Следовательно, решив задачу о движении центра масс тела как материальной точки массой, равной массе всего тела, можно определить поступательное движение всего тела.

Движение свободного твердого тела в общем случае можно разложить на поступательное движение вместе с центром масс и на сферическое вокруг центра масс. По теореме о движении центра масс системы в этом случае можно определить только поступательное движение тела как движение материальной точки, а сферическое движение приходится рассматривать особо, пользуясь другими теоремами динамики.

Таким образом, вопрос о том, можно ли рассматривать то или иное тело как материальную точку, решается в зависимости от характера движения тела, а не от его размеров.

Так, например, при исследовании поступательных движений планет солнечной системы их можно рассматривать как материальные точки, обладающие массами этих планет, но при изучении вращений планет вокруг их осей рассматривать их как точки нельзя.

Закон сохранения движения центра масс механической системы:

Закон состоит из двух следствий из теоремы:

Следствие 1:

Если Главный вектор внешних сил все время остается равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Если то и при этом если - начальная скорость центра масс равна 0, то центр масс находится в покое. Если же , то центр масс движется прямолинейно и равномерно с этой скоростью.

Следствие 2:

Если проекция Главного вектора внешних сил на какую либо неподвижную ось все время остается равной нулю, то проекция центра масс механической системы на эту ось или неподвижна или движется равномерно.

Если то и