1. Передача теплоты через цилиндрическую стенку
и граничных условиях I рода
|
Подвод теплоносителя к потребителю обычно осуществляется по трубам, а сами потребители часто имеют цилиндрический корпус. В связи с этим возникает необходимость расчета тепловых потоков через цилиндрическую оболочку. Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d1 = 2r1 и наружным диаметром d2 = 2r2. На поверхности стенки заданы |
постоянные температуры tc1 и tc2. В заданном интервале температур =const. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.
В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат:
.
При этом ось Oz совмещена с осью трубы.
При заданных условиях температура изменяется только в радиальном направлении и температурное поле будет одномерным, поэтому:
и
.
Кроме того, так как температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическими. Тогда температура не должна изменяться вдоль , то есть:
и
.
Следовательно, дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:
.
Граничные условия задаются следующим образом:
t = tc1 при r = r1;
t = tc2 при r = r2.
Для решения дифференциального уравнения введем новую переменную:
.
Тогда дифференциальное уравнение примет вид:
.
Интегрируя, получаем:
.
Потенцируя и переходя к первоначальным переменным, получаем:
.
После интегрирования находим:
.
Подставим в полученное выражение граничные условия:
|
|
,
; 
.
Тогда температурное поле будет равно:
,
или
.
Полученное выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. Криволинейное распределение температуры в цилиндрической стенке объясняется следующим. Для плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей. Для цилиндрической стенки q через любую изотермическую поверхность зависит от радиуса.
Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность площадью F в единицу времени, воспользуемся законом Фурье:
.
Очевидно,
; 
.
Тогда Q равно:
.
Из полученного выражения видно, что так же, как и для плоской стенки, тепловой поток через цилиндрическую оболочку прямо пропорционален разности температур поверхностей стенки.
Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом расчетные формулы для плотности теплового потока, принимают вид:
-
тепловой
поток через единицу внутренней
поверхности;
-
тепловой
поток через единицу наружной поверхности;
-
поток теплоты, проходящий через единицу
длины трубы.
ql также называется линейной плотностью теплового потока (Вт/м).
Как видно из первых двух уравнений плотности теплового потока q1 и q2 (отнесенные к внутренней и внешней поверхности) при передаче теплоты через трубы неодинаковы, причем всегда q1 > q2.
Связь между величинами q1, q2 и ql следующая:
.