Лекция 2

Тема: «ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ»

План.

1. Передача теплоты через плоскую стенку и граничных условиях I рода.

2. Передача теплоты через многослойную плоскую стенку и граничных условиях I рода.

3. Передача теплоты через плоскую однослойную и многослойную стенки и граничных условиях III рода.

Рассмотрим случаи передачи теплоты через стенки, когда внутренние источники теплоты отсутствуют (q_ = 0). При установившемся, или стационарном, тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной:

.

Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид:

.

1. Передача теплоты через плоскую стенку и граничных

условиях I рода

Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной  с постоянным коэффициентом теплопроводности . На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянными температуры tc1 и tc2. Следовательно, температура будет изменяться только в направлении оси Ох, а температура в направлении осей Oy и Oz будет оставаться постоянной:

.

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты х (t = f(x)) и дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде:

.

Граничные условия в рассматриваемой задаче задаются следующим образом:

t = t_c1 при х = 0;

t = t_c2 при х = .

В результате решения поставленной задачи найдем распределение температуры в плоской стенке, то есть t = f(x), а также получим формулу для определения плотности теплового потока.

Первое интегрирование дает:

.

После второго интегрирования получим:

– уравнение прямой линии.

Следовательно, при  = const закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяем из граничных условий:

при х = 0 t = t_c1  С₂ = t_c1;

при х =  t = t_c2 .

Тогда закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке имеет следующую запись:

.

Для определения плотности теплового потока в направлении оси Ох, воспользуемся законом Фурье, согласно которому:

.

Так как , то

.

Из полученного уравнения следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности , разности температур поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки .

Величина, численно равная отношению разности температур между двумя изотермическими поверхностями тела к плотности теплового потока в какой-либо точке на одной из этих поверхностей, называется внутренним термическим сопротивлением, м²К/Вт:

.

Общее количество теплоты Q_, которое передается через поверхность стенки F за промежуток времени :

.

Кроме того, уравнение температурного поля может быть записано в виде:

.

Из этого выражения следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Полученные выражения справедливы, когда  = const.

В действительности  является переменной величиной. Для многих материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры близка к линейной:

,

где ₀ – значение коэффициента теплопроводности при 0 С.

Тогда плотность теплового потока будет равна:

.

Введя обозначение , получим

,

где _ср – среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности.

Выражение для температурного поля имеет вид:

.

2. Передача теплоты через многослойную плоскую стенку и

граничных условиях I рода

Рассмотрим стенку, состоящую из слоев различной толщины (₁, ₂,…, _n). Теплопроводность отдельных слоев обозначим ₁, ₂,…, _n. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.

При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же: .

При заданных условиях можно составить систему уравнений:

, , …………………. ;

, , …………………. .

Сложив правые и левые части полученных уравнений, будем иметь:

.

Тогда плотность теплового потока равна:

,

где – полное термическое сопротивление плоской многослойной стенки, м²К/Вт. Полное термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений составляющих ее слоев.

Иногда многослойную стенку рассчитывают как однородную, вводя в представленное выражение эквивалентный коэффициент теплопроводности:

.

Эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки той же толщины, с теми же температурами поверхности и пропускающей тот же тепловой поток.

Температуры на границах соприкосновения двух соседних слоев равны:

;

;

.