Запишем выражение собственных форм колебаний:

.

Составим начальные условия. Для этого найдем выражение растянутой оси стержня при смещении правого конца на величину .

Окончательно

.

Будем считать, что в начальный момент все точки оси стержня покоились, т. е. .

Запишем общее решение (7.5) в виде

.

Здесь коэффициенты учитываются постоянными . Начальные условия (7.6) приводят к соотношениям:

; .

Второе из этих начальных условий может быть выполнено при , а для опре-деления коэффициентов воспользуемся свойством ортогональности собственных форм, т.е. условием

при . (7.7)

Умножим обе части соотношения на z_к и проинтегрируем по "z" в пределах от нуля до .

.

Из условия ортогональности собственных форм (7.7) следует, что все интегралы в левой части уравнения будут равны нулю при , т.е. сумма будет содержать единственное слагаемое

.

Из этого выражения может быть получена формула для определения коэффи-циентов

.

Полученная формула вместе с выражением

дает окончательное решение поставленной задачи.

Подсчитаем первый коэффициент и первую собственную частоту .

,

,

,

;

.

В практических расчетах наибольший интерес представляет первая частота собственных колебаний , при которой, как правило, возникает резонанс. Эта частота может быть определена достаточно просто приближенным методом. Так, при продольных колебаниях стержня квадрат первой частоты может быть найден из выражения

, (7.8)

где - площадь поперечного сечения; - плотность материала стержня; - длина стержня.

Приближенность решения заключается в том, что в качестве функции выбирается любая функция, удовлетворяющая граничным условиям. Если же выбрать функцию, отвечающую форме колебаний данной системы, то получим точное решение.

Если стержень несет кроме распределенной и сосредоточенные массы, приложен-ные в сечениях (рис. 7.10), то формула квадрата частоты собственных колебаний примет вид

Рис. 7.10 Стержень с

сосредоточенными

массами

. (7.9)

Определим для стержня (рис.7.9) при его продольных колебаниях. В качестве возьмем уравнение растянутой оси от равномерно приложенной нагрузки

(рис. 7.11).

;

; ; ;

Рис. 7.11

.

Обозначим , тогда .

Вычислим интегралы в формуле для

определения :

,

.

Согласно (7.8) , .

Сравним найденное приближенное значение с точным. В точном решении коэффициент в числителе равен 2,467, а в приближенном 2,5. Это соответствует относительной ошибке, равной 0,42 %.

Найдем теперь эту же частоту, использовав в качестве уравнение растянутой оси стержня, соответствующее приложенной сосредоточенной силе на конце стержня (рис.7.12).

;

; ; .

Рис. 7.12

Учитывая, что только при z >l находим

.

Вычислим интеграл в формуле :

,

.

По (7.8)

, .

В этом случае коэффициент в числителе подкоренного выражения равен трем, и относительная ошибка увеличилась до 6,54 %. Это объясняется тем, что функция удовлетворяла не всем граничным условиям, ее производная при терпела разрыв.

Использование в качестве уравнения оси стержня при статическом нагружении, соответствующем всем граничным условиям, было предложено Рэлеем.

Это приводит к наиболее точным результатам, однако иногда используют более простые выражения , удовлетворяющие не всем граничным условиям, что значительно увеличивает погрешность расчетов.

Рис. 7.13

Найдем частоту крутильных колебаний стержня

(рис. 7.13).

Исходные данные: кг м² – сосредоточенный момент инерции; - распределенный момент инерции; ; м – диаметр поперечного сечения; (модуль сдвига).

Выражение для приближенного определения час-

тоты свободных крутильных колебаний может быть

записано в виде . (7.10)

Построим функцию - уравнения закрученной оси стержня при статическом нагружении.

;

; ; ;

.

Обозначив , получим .

Вычислим интегралы

,

,

.