7. Расчет стержней на колебания

Процесс изменения параметра системы (координаты, деформации, напряжения и др.), который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыва­нием параметра во времени, называется колебательным процессом, а соответствую­щий параметр - колеблющейся величиной.

В зависимости от характера источника энергии различают колебания: собственные, вынужденные, параметрические и автоколебания.

Колебания, которые совершаются без поступления энергии извне, называются свободными или собственными колебаниями. В том случае, когда колебания вызываются переменным внешним воздействием, они называются вынужденными. Колебания называются параметрическими, если они вызываются изменением во времени параметров системы. Колебания, возникающие и поддерживающиеся от источника энергии неколебательной природы, называются автоколебаниями.

В зависимости от вида деформации упругих элементов различают продольные, поперечные и крутильные колебания (рис. 7.1).

По количеству степеней свободы различают колебательные системы с одной, несколькими и с бесконечным числом степеней свободы.

1. Колебания упругой системы с одной степенью свободы

Примером такой системы может служить невесомая система, содержащая одну материальную точку, положение которой определяется одним параметром - прогибом, углом поворота, осевым перемещением (рис. 7.1).

а) б) в)

Рис. 7.1 Колебательные системы с одной степенью свободы:

а - поперечные , б - крутильные ,

в - продольные колебания

При поперечных колебаниях дифференциальное уравнение движения без учета затухания имеет вид

V-ω² V = f (t), (7.1)

где -угловая частота собственных колебаний, , - переме­щение балки в точке от единичной силы, статически приложенной в этом же сечении.

Решение уравнения (7.1) может быть получено методом Коши:

, (7.2)

где и - перемещение и скорость в начальный момент времени .

Рис. 7.2

Рассмотрим свободные колебания балки (рис. 7.2), вызванные мгновенным присоединением в точке cсосредоточенной массы , имеющей первоначальную скорость .

В этом случае переменное внешнее воздействие отсутствует , т.е. , перемещение в начальный момент также равно нулю (V(0) = 0), а скорость . Тогда движение системы будет происходить по закону

.

Рис. 7.3

Для определения собственной частоты колебаний необходимо приложить в точке единичную силу (рис.7.3) и найти перемещение . Используем для этой цели интеграл

Мора [8]

.

Необходимо отметить, что последнее слагаемое следует учитывать лишь в одной точке: . Для определения , используем граничные условия

из которых найдем , .

Тогда

,

а перемещение

.

Окончательно получим выражение

.

Таким образом, колебания будут совершаться по гармоническому закону с амплитудой .

Рассмотрим вынужденные колебания шарнирно опертой балки (рис. 7.4) без учета затухания.

Рис. 7.4

Пусть , поперечное сечение стержня – круг диаметром , , , частота возмущающей силы.

Предположим, что в начальный момент времени балка покоилась , т.е. и .

Тогда из (7.2) следует, что

.

Преобразуем полученное выражение:

.

Необходимо обратить внимание на то, что найденное уравнение движения имеет смысл только при .

Рис. 7.5

Определим собственную частоту колебаний , ис­пользуя интеграл Мора для вычисления .

Найдем и из граничных условий

.

Определим

.

Для расчета частоты собственных колебаний необходимо вычислить осевой мо-мент инерции

.