6.2. Устойчивость сжатых стержней

Р авновесие стержня, нагруженного продольными силами, будет устойчивым, если стержень, получив весьма малое перемещение, стремится к первоначальной форме и возвращается к ней после снятия внешних воздействий, вызвавших это перемещение. Если же стержень не возвращается к первоначальной форме, то равновесие будет неустойчивым.

Если стержень растянут силами Р

а)

б)

(рис. 6.11а) и получил весьма малое перемещение (в пределах упругости) за счет внешнего воздействия Р, то после удаления этого воздействия силы упругости совместно с растягивающими силами Р всегда будут возвращать стержень к первоначальной форме, поэтому для растянутого стержня возможна только форма упругого равновесия.

Рис. 6.11

в)

Силы будут препятствовать выпрямлению стержня (рис. 6.11б). При небольших сжимающих силах силы упругости преодолевают их действие и возвращают стержень к первоначальной форме.

Увеличивая силы, можно достичь такой их величины, при которой стержень от действия весьма малой дополнительной внешней нагрузки Р уже не

выпрямляется, а остается искривленным. Это обусловлено тем, что силы упругости уравновешиваются сжимающими силами (рис. 6.11в).

Такое состояние стержня называется критическим. Силы, сжимающие стержень, при которых имеет место критическое состояние, называются критическими и обозначаются Р_кр. Дальнейшее самое незначительное увеличение сжимающих сил приводит к потере устойчивости стержня. Особая опасность разрушения вследствие потери устойчивости заключается в том, что, она, как правило, наступает внезапно, и при небольших значениях напряжений, когда прочность конструкций еще далеко не исчерпана. Таким образом, критическая сила является минимальным пределом сжимающей силы, вызывающей разрушение стержня.

Если принять, что правая часть уравнения (6.2) равна нулю, что соответствует q_уi = 0, получим дифференциальное уравнение

. (6.12)

Полученное уравнение описывает широкий круг задач по устойчивости стержней. Решение уравнения (6.12) с использованием фундаментальных функций (6.5) соответствует общему решению дифференциального уравнения (6.1) без правой части:

. (6.13)

Постоянные интегрирования А, В, С и D определяются из граничных условий.

Вычисление критической силы. Формула Эйлера

Рассмотрим несколько примеров, используя решение (6.13).

Пример 1

Стержень сжат силой Р на свободном конце защемленной балки длиной l постоянной жесткости EJ (рис. 6.12).

Определить критическую нагрузку Р_кр.

Рис. 6.12

;

;

.

Из граничных условий , , и получаем три однородных уравнения с тремя неизвестными постоянными: А, В и D.

Система имеет решение, если ее определитель равен нулю. Составив определитель системы из коэффициентов матрицы, получим, что . Это возможно, если Kl принимает значения (n =1,3,5,…). Тогда получаем , но , следовательно:

, (6.14)

Сила Р принимает минимальное значение при n=1. Учитывая это, получаем

. (6.15)

П ример 2

Защемленный стержень сжат силой Р на свободно опертом конце (рис. 6.13). Длина стержня равна l, жесткость стержня постоянна. Определить критическую силу.

Так как постоянные А и В равны нулю, то их в уравнениях опускаем:

Рис. 6.13

;

.

Определитель этой системы приводится к трансцендентному уравнению . Решив уравнение, получим значение =1,42 . Тогда .

Учитывая, что , получаем

. (6.16)

Пример 3

Защемленный с обоих концов стержень сжат силой Р. Длина стержня l и жесткость EJ постоянна (рис. 6.14). Определить критическую силу P_кр.

Составим уравнения и :

;

.

Рис. 6.14

Используя граничные условия на правом конце стержня и , получаем систему двух уравнений:

;

.

Определитель полученной системы

.

Для того чтобы определитель был равен нулю, получаем два значения Kl:

1. , откуда ;

2. , т.е. .

Наименьший корень , тогда

(6.17)

Пример 4

Д вухшарнирный стержень длиной l с постоянной жесткостью EJ сжимается силой Р (рис. 6.15). Определить критическую силу Р_кр .

Из граничных условий на правом конце стержня

;

Рис. 6.15

.

Если D=0, то получаем В=0, но тогда стержень будет ненагруженным. Если , то получаем (n=1,2,3,…).

Следовательно, минимальное значение силы Р получаем при n=1:

(6.18)

Таким образом, для разных вариантов закрепления концов стержня получаем одни и те же структурные формулы:

, (6.19)

где - обозначен коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления его концов.

Формула (6.19) носит название формулы Эйлера, а сила называется эйлеровой силой.

Приближенные методы определения критических параметров

Выше рассматривались простые задачи по вычислению критической нагрузки, но могут быть задачи сложнее, когда стержень имеет переменное сечение и нагружен произвольной продольной нагрузкой по длине стержня, например осевой погонной нагрузкой постоянной или переменной интенсивности (6.16).

Такого рода задачи решаются с использованием специального математического аппарата. Разработано несколько прямых методов определения приближенных значений критических параметров.

а)

б)

Рис. 6.16

Если в выражении (6.1) принять q_y=0, то получим дифференциальное уравнение

. (6.20)

Умножая уравнение (6.20) на и интегрируя по всей длине стержня, получаем

. (6.21)

Если вместо неизвестного точного решения V(z) использовать другую функцию V₁(z), то

. (6.22)

При удачном выборе функции V₁(z) величина может быть настолько мала, что ее можно принять равной нулю, тогда критические параметры можно определить приближенно из уравнения

. (6.23)

Если стержень сжимается только осевой сосредоточенной силой , то по уравнению (6.23) определяют критическую силу

. (6.24)

Для стержня с переменной жесткостью (рис. 6.17) интегрирование необходимо выполнять по участкам.

Рис. 6.17

. (6.25)

Уравнение (6.23) с достаточной для практических целей точностью определяет величину критической нагрузки, если в качестве функции V₁(z) выбрать произвольную функцию, удовлетворяющую граничным условиям и условиям сопряжения стержней (для стержневой системы). На выборе функции V₁(z) остановимся подробнее при рассмотрении примеров.

Уравнения (6.23) и (6.24) можно привести к виду, удобному при использовани энергетического метода решения. Интегрируя уравнение (6.23) по частям, можно показать, что проинтегрированные слагаемые всегда равны нулю, если функция V₁(z) удовлетворяет граничным условиям обычного типа (для свободных, шарнирно опертых и защемленных концов стержней). Тогда уравнение (6.23) получит следующий вид:

,

а формула (6.25) преобразуется к виду

. (6.26)

Эта формула имеет некоторые преимущества, заключающиеся в том, что если даже не все граничные условия удовлетворяются, все равно получим приближенное значение критической силы, но с меньшей точностью и всегда завышенное.

Найдем формы изогнутой оси при некоторых видах граничных условий для прямого стержня, не имеющего кинематических особенностей (промежуточных шарниров, опор и т.д.) на всей длине.

В примере 1 из системы уравнений получаем D= – K²B, тогда уравнение изогнутой оси запишется в виде

или . (6.27)

Наименьший критический параметр , тогда

. (6.28)

В примере 3 из системы уравнений

,

наименьший корень которого . Тогда из первого уравнения системы постоянная D=0 и для формы изогнутой оси получаем уравнение

. (6.29)

Аналогично можно получить уравнения прогибов и для других случаев закрепления концов стержня.

В табл. 6.4 приведены рекомендуемые формы изогнутой оси стержня и граничные условия для некоторых случаев закрепления концов стержня.

Примеры вычисления критической нагрузки приближенным методом

Задача 1

Защемленный левым концом стержень с постоянным поперечным сечением 6х12 см сжимается силой Р (рис. 6.18).

О

Рис. 6.18

пределить критическую силу Р_кр , если l=1 м и E=2^.10⁵ МПа.

Таблица 6.4

Схема закрепления концов стержня	Граничные условия		Рекомендуемые функции V(z)
1	2		3
1)	, , , .		,
2)	, , , .
3)	, , , .
4)	, , , .		,
5)	, , , .		,
6)	, ,		,
7)	, , .		,
Окончание табл. 6.4
8)		, , , .	,
9)		, , , .	,
10)		, , , .	,
11)		, , , .	,
12)		, , .	.

Выберем функцию для изогнутой оси стержня в виде , запишем производные и проверим граничные условия:

; ; .

Граничные условия , , , удовлетворяются. Следовательно, функция выбрана верно.

.

После подстановки исходных данных получим величину критической силы Р_кр=1,07 МН.

Задача 2

Стержень (рис. 6.19) сжимается силой Р.

Определить критическую силу, если l=1 м и E=2^.10⁵ МПа. I=2^.10^-6 м⁴.

У

Рис. 6.19

равнение изогнутой оси стержня выберем в форме . Производные функции ;

; . Граничные условия , и удовлетворяются.

Вычислим критическую силу

.

В результате подстановки исходных данных получим значение критической силы Р_кр=1,03 MH.

Задача 3

Определить силу Р_кр и коэффициент приведения длины для стержня (рис. 6.20). Вычисления сделать при следующих исходных данных: l=1,2м и E=2^.10⁵ МПа. J₁=2J₂ =1,9^.10^‑6 м⁴.

В

Рис. 6.20

ыберем форму изогнутой оси в виде . Граничные условия удовлетворяются. Тогда

.

Из этого выражения можно вычислить коэффициент приведения длины .

.

При подстановке исходных данных получим значение Р_кр=0,5 МН.

Разберем несколько примеров, когда по длине стержня действуют осевые погонные нагрузки постоянной интенсивности q.

Задача 4

С тержень (рис. 6.21) нагружен погонной нагрузкой постоянной интенсивности q. Определить критическую нагрузку , если l=3,5 м и E=2^.10⁵ МПа. J=3^.10^-6 м⁴.

Используя уравнение (6.26) и учитывая, что , получаем выражение для критической

и

Рис. 6.21

нтенсивности погонной нагрузки

. (6.30)

Уравнение формы изогнутой оси можно выбрать в виде полинома

.

Запишем производные и из граничных условий найдем постоянные , ,

и :

;

.

Граничные условия и дают значения = 0 и = 0. Граничные условия в защемленном конце и позволяют найти значения и . Уравнение примет следующий вид:

,

,

.

По формуле (6.30) определяем

.

Таким образом, получим

Задача 5

Определить критическую длину стальной стойки, на которую действует собственный вес (рис. 6.22), когда не теряется устойчивость.

Исходные данные: , E=2^.10⁵  МПа, F=6^.10^-2 м², J=2^.10^‑4  м⁴.

Вычислим и подставим в уравнение (6.26)

.

О тсюда . Тогда .

. (6.31)

Решим задачу, используя несколько вариантов выбора формы изогнутой оси.

а

Рис. 6.22

) Выберем функцию в следующем виде:

.

Определим первую и вторую производные:

, .

Подставив производные в формулу (6.31), вычислим критическую нагрузку

.

Коэффициент приведения длины =1,1.

Теперь можно найти критическую длину стойки

,

где .

Подставив исходные данные, найдем, что м.

Вес стойки при этой длине МН

б) Выберем в качестве функции тригонометрический полином

.

Найдем производные этого полинома и из граничных условий – коэффициенты a₀, a₁ и a₂:

;

;

.

Граничные условия , , и дают два уравнения: и , откуда , .

Тогда уравнения будут следующими:

;

;

.

Вычислим критическую нагрузку

.

Критическая длина стойки

,  м.

Вес стойки при этой длине  МН.

в) Выберем в качестве функции алгебраический полином пятой степени.

;

;

;

.

Используя граничные условия, находим коэффициенты полинома:

, , ;

;

.

Отсюда . Тогда .

Получим полином и его производные по переменной “z” в следующем виде:

;

;

.

Вычислим критическую нагрузку и критическую длину стойки:

Подставив исходные данные, получим

, м.

Вес стойки  МН.

Точное решение с использованием функций Бесселя получено в следующем виде , откуда , м.

Таким образом, все выбранные функции дают довольно близкие к точному решению значения, кроме функции , так как эта функция не удовлетворяет граничному условию , поэтому получено завышенное значение на 1,7 % значение .

Задача 6

Для ступенчатого стержня переменного сечения, нагруженного в соответствии со схемой (рис. 6.23), определить критическую нагрузку и коэффициент приведения длины . Задачу решим двумя вариантами.

I вариант. Запишем уравнение изогнутой оси стержня: .

Д ля вычисления критической нагрузки потребуются первая и вторая производные,

а для проверки граничных условий - еще и третья. Запишем эти производные:

; ;

Рис. 6.23

.

Значения функции и производных на концах стержня , , и удовлетворяют граничным условиям.

Запишем уравнение равновесия для деформированного стержня

.

Уравнение продольных сил на первом и втором участках будут равны ( , )

и .

Получим

,

,

где .

II вариант. Рассмотрим конструкцию как стержневую систему.

Для первого стержня . Запишем первые три производные этого уравнения: ; ; .

Для второго стержня .

Первые три производные этого уравнения по переменной “z”

; ; .

удовлетворяют всем граничным условиям:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Для составления уравнений N₁(z) и N₂(z) рассмотрим стержневую систему (рис.6.24) и запишем уравнения

, ,

, .

Из граничных условий и условий сопряжений находим

1. ;

2. 

   Рис. 6.24

   ;

3. ;

4. .

Тогда получим .

Теперь составим уравнения продольных сил для первого и второго участков

, ;

, .

Уравнение равновесия запишем в следующем виде:

,

,

где .

Если момент инерции сечения стержня = 200 см⁴, l = 3 м и E = 2 10⁵ MПа, получим

.

Критическая нагрузка =12 т.

Расчеты на устойчивость по коэффициенту снижения

основного допускаемого напряжения на сжатие

Ранее предполагалось, что в стержне при сжатии не возникают пластические деформации. Это предположение верно для тонких и длинных стержней, в которых напряжения сжатия при критических нагрузках остаются меньше предела пропорциональности. Для коротких стержней больших поперечных сечений критическая сила будет большей и в этом случае могут возникнуть пластические деформации еще до наступления потери устойчивости. Простой расчет на сжатие здесь не годится, так как стержень имеет достаточную длину и сохраняет особенности поведения, связанные с потерей устойчивости. С другой стороны, расчет на устойчивость по формуле Эйлера также не корректен, поскольку в стержне возникают пластические деформации. В этом случае расчет на устойчивость ведется по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения на сжатие. Этот метод заключается в том, что допускаемое напряжение на устойчивость определяют как часть допускаемого напряжения на простое сжатие .

, (6.32)

где - коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие

( < 1).

Допускаемые напряжения устойчивости и сжатия равны соответственно

и , (6.33)

где - критическое напряжение, определяемое по формуле Эйлера; - предел прочности материала; - коэффициенты запаса устойчивости и прочности.

Таблица 6.5

Гиб- кость	Значение коэффициента
	Сталь Ст.2, Ст.3, 40С	Сталь Ст.5	Чугун	Дерево (сосна, ель)	Сталь СПК
1	2	3	4	5	6
0	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00
10	0.99	0.98	0.97	0.99	0.97
20	0.96	0.95	0.91	0.97	0.95
1	2	3	4	5	6
30	0.94	0.92	0.81	0.93	0.91
40	0.92	0.89	0.69	0.87	0.87
50	0.89	0.86	0.57	0.80	0.83
60	0.86	0.82	0.44	0.71	0.79
70	0.79	0.76	0.34	0.60	0.72
80	0.75	0.70	0.26	0.48	0.65
90	0.69	0.62	0.20	0.38	0.55
100	0.60	0.51	0.16	0.31	0.43
110	0.52	0.43	-	0.25	0.35
120	0.45	0.38	-	0.22	0.30
130	0.40	0.32	-	0.18	0.26
140	0.36	0.29	-	0.16	0.23
150	0.32	0.26	-	0.14	0.21
160	0.29	0.24	-	0.12	0.19
170	0.26	0.21	-	0.11	0.17
180	0.23	0.19	-	0.10	0.15
190	0.21	0.17	-	0.09	0.14
200	0.19	0.16	-	0.08	0.13

Коэффициент может быть выражен в виде

. (6.34)

Критические напряжения по формуле Эйлера будут равны

. (6.35)

Введя в формулу (6.35) обозначения (радиус инерции сечения) и (гибкость стержня) получим формулу Эйлера в следующем виде:

. (6.36)

Критическое значение гибкости стержня определяется из условия , где - предел пропорциональности материала стержня.

Критическое значение гибкости получим

. (6.37)

Значения коэффициента снижения основного допускаемого напряжения в зависимости от материала и от гибкости стержня приведены в табл. 6.5.

Зная коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие можно записать условие устойчивости:

Пример расчета

Из условия устойчивости с использованием коэффициента снижения основного допускаемого напряжения определить размеры прямоугольного сечения деревянной стойки, нагруженной продольной сжимающей силой Р.

С хема закрепления концов стержня показана на рис. 6.25. Задачу решить при следующих исходных данных: отношение сторон прямоугольного сечения h:b=2:1; l=3м; P=200 кН ; =10 МПа=1 кН/см²; Е=0,9 10⁴ МПа.

Выразим интегральные характеристики поперечного сечения и гибкость стойки через b:

Рис. 6.25

, , .

Тогда гибкость стойки

.

Необходимую величину сечения «b» найдем путем последовательных приближений.

В первом приближении принимаем , тогда получим

см² см.

При этом гибкость стойки .

Значение коэффициента при находим по табл. 6.5 путем интерполяции

.

Тогда допускаемое напряжение в поперечном сечении стойки

Действительное напряжение в сечении стойки:

.

Сечение значительно недогружено: .

Возьмем следующее приближение:

.

и .

Тогда гибкость стойки

.

При гибкости стойки

,

 МПа,  МПа.

Сечение еще значительно недогружено.

Делаем третье приближение , тогда необходимая площадь сечения

, .

Гибкость стойки

, .

Допускаемое напряжение  МПа.

Действительное напряжение  МПа.

.

Недогрузка в этом случае составляет

, что допустимо.

Таким образом, принимаем сечение с размерами b=12 см и h=24 см.

Значение критической силы

.

Тогда коэффициент запаса устойчивости

.

Для решения задач с использованием коэффициента снижения основного допустимого напряжения обычно достаточно трех-четырех приближений.

В прил. 6 приведены формулы для вычисления часто встречающихся интегралов при расчетах на устойчивость и дано индивидуальное задание по оценке силовых параметров при рассмотрении устойчивости стержней.