3.5. Интегральные характеристики напряжений в сечениях
В
сечении тела плоскостью, перпендикулярной
его продольной оси, совпадающей с осью
Z
системы координат XYZ,
силы взаимодействия частей тела можно
привести к главному вектору
и к главному моменту
,
поместив центр их приведения в
произвольную точку
сечения.
Составляющие
этих
векторов
–
поперечные
силы
,
нормальное усилие
,
изгибающие моменты
и крутящий момент
-
можно выразить через напряжения
,
действующие в произвольной точке А с
координатами (x,
y).
В окрестности точки А следует выделить
элементарную площадку
(рис. 3.2). Тогда
(3.37)
Выражения
(3.37) называют интегральными характеристиками
напряжений (ИХН) в сечении. Рассекая
тело плоскостями, перпендикулярными к
осям “
”
и “
”
получают аналогичные выражения.
П
ри
конкретных условиях нагружения эти
соотношения позволяют определить
пригодные для практических расчетов
формулы. К примеру, напряжение
входит
в
выражения
.
Установим зависимость между этими
величинами. В конкретном сечении
.
Запишем напряжение
в виде полинома
(3.38)
где
-постоянные коэффициенты, требующие
определения.
Подставив
(3.38) в выражения (3.37) для
,
получим
(3.39)
(3.40)
(3.41)
В
уравнениях (3.39) - (3.41)
- площадь сечения;
- статические моменты сечения относительно
осей
;
- осевые и центробежный моменты инерции
сечения.
Если
оси координат XYZ
выбрать не произвольными, а главными
центральными, то
,
и из выражений (3.39) - (3.41) определим, что
(3.42)
Подставив
коэффициенты
из (3.42) в (3.38), получим
(3.43)
С
помощью формулы (3.43) определяют нормальные
напряжения в любой точке сечения с
координатами
;
ее часто используются при расчетах, в
частности при рассмотрении растяжения
(сжатия), плоского поперечного изгиба,
косого изгиба, изгиба с растяжением
(сжатием).
Для
оценки прочности материала, имеющего
определенные механические свойства,
необходимо знать все составляющие
тензора напряжений, но для построения
этих функций уравнений (3.37) недостаточно.
Необходимо построить полную математическую
модель деформирования твердого упругого
тела, включающую следующие составные
части:
1) уравнения равновесия для каждого элемента тела, получаемые на основании общих принципов механики;
2) геометрические (кинематические) соотношения между деформациями и перемещениями; для малых деформаций эти соотношения выражаются формулами Коши (3.20);
3) физические зависимости между напряжениями и деформациями; для изотропных упругих тел эти зависимости выражаются формулами (3.31) или (3.32);
4 ) граничные и начальные условия (при действии динамических и импульсных нагрузок), которым должны удовлетворять перемещения, напряжения и деформации на поверхностях, ограничивающих тело.