3.3. Закон Гука
Между составляющими тензора напряжений и тензора деформаций существуют зависимости, которые для материалов с различными физическими свойствами определены опытным путем. Для малых деформаций (в сравнении с размерами деформируемых тел) эти зависимости представлены линейными функциями.
Физические свойства, которые обнаруживаются в испытываемых образцах при различных видах нагружений, называют механическими свойствами материала. В рамках принятой модели твердого деформируемого тела результаты испытаний распространены для изотропных материалов, т. е. таких, у которых механические свойства не зависят от ориентации вырезанного из них для испытаний образца.
Экспериментально
установлено, что если образец растягивается
в одном направлении, что порождает
действие в этом же направлении напряжения
,
то происходит его удлинение. Пусть
- относительная деформация в направлении
действия
.
Относительная деформация
в любом перпендикулярном действию
направлении, ведет к сокращению поперечных
размеров. Опытным путем установлено,
что при этом имеют место соотношения:
(3.29)
Постоянная
называется модулем упругости или
модулем Юнга, или модулем упругости
первого рода. Постоянную
- называют коэффициентом Пуассона или
коэффициентом поперечной деформации.
Доказано, что
(3.30)
Знак равенства имеет место для несжимаемых тел, модель которых используют в теории пластического течения материала.
Формула (3.29) определяет закон Гука при одноосном напряженном состоянии.
Если
к телу приложить нагрузки одновременно
в трех взаимно перпендикулярных
направлениях, вызывающих появление
то получим
(3.31)
Зависимости (3.31) устанавливают связь между главными напряжениями и главными деформациями.
Когда на гранях образцов действуют не только нормальные, но и касательные напряжения, приходим к зависимостям вида
(3.32)
где
- модуль сдвига или модуль упругости
второго рода.
Формулы (3.32) выражают обобщенный закон Гука для изотропного упругого тела, механические свойства которого характеризуются двумя постоянными: и , определяемыми при растяжении (реже при сжатии).
При решении ряда задач о упругом деформировании обобщенный закон Гука удобно представлять следующими соотношениями:
(3.33)
где
- первый инвариант деформированного
состояния в точке тела;
Коэффициенты
и
при таком представлении обобщенного
закона Гука называют постоянными Ляме.
При решениях частных задач используют соотношения
(3.34)
где
- объемный модуль упругости.
Для анизотропного материала (т. е. такого, у которого механические свойства по разным направлениям различны) сохраняется линейная зависимость между напряжениями и деформациями, но число упругих постоянных возрастает [17].
В самом общем случае анизотропии число упругих постоянных равно 21. У анизотропных тел линейные деформации возникают от действия касательных напряжений, а угловые деформации могут возникать при действии нормальных напряжений.