3. Основные соотношения механики деформируемого твердого тела
3.1. Напряженное состояние в точке упругого тела
Все вещества имеют атомно–молекулярное строение. Однако описать, используя математический аппарат, взаимодействие бесчисленных мельчайших элементов тела невозможно. Поэтому в механике деформируемых твердых тел реальная структура заменяется гипотетической (идеальной) средой, которая отражает основные механические свойства реальных тел.
Основным допущением при построении модели деформируемого тела является предположение о его сплошности, согласно которому реальное дискретное тело заменяется средой, непрерывно заполняющей весь объем тела.
Все действующие на тело внешние нагрузки делят на объемные (приложены к каждой части тела, например, силы инерции, тяжести, электромагнитного взаимодействия) и поверхностные. Поверхностные силы возникают в результате взаимодействия тел, вызванного их соприкосновением и контактом при работе машин, механизмов и т. д. Если к телу приложены внешние нагрузки и оно находится в равновесии, то в каждой его точке возникают, как было отмечено в главе 2, внутренние силы (ВСФ). ВСФ определяют, используя метод сечения. Интенсивности ВСФ называют напряжениями. Понятие напряжений является одним из основных в механике деформируемых твердых тел и подробно рассмотрено, например, в [ 7 ].
Если рассматривать тело в прямоугольной декартовой системе координат, то в каждой его точке полный вектор напряжений разлагается на девять составляющих напряжений, три нормальные и шесть касательных:
По закону парности касательных напряжений
(3.1)
Таким образом, напряженное состояние в точке тела определяется шестью напряжениями. Эти напряжения объединены в комплексный показатель – тензор напряжений
В силу гипотезы о сплошности материала каждое напряжение является функцией координат точки, т. е.
.
Тензор
напряжений, определяемый выражением
(3.2), является тензором второго ранга,
симметричным (в силу соотношений (3.1))
относительно главной диагонали. Это
свойство
позволяет получить при анализе
напряженного состояния ряд важных
соотношений.
Установлено,
что если известны напряжения в трех
взаимно перпендикулярных площадках,
проходящих через исследуемую точку, то
напряжение в этой точке может быть
определено однозначно. Для этого получены
формулы, определяющие составляющие
полного напряжения
в наклонной площадке, расположенной
бесконечно близко к рассматриваемой
точке. Ориентация наклонной площадки
задается направляющими косинусами
[ 7 ].
(3.3)
Нормальное напряжение в наклонной площадке определяется соотношением [7]
(3.4)
Касательное напряжение, действующее в наклонной площадке, определяется из выражения [ 7 ]
(3.5)
Наклонная площадка может иметь такую ориентацию, что в ней будут действовать только нормальные или только касательные напряжения. Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а действующие на них напряжения – главными. Доказано, что через каждую точку тела можно провести единственные три взаимно перпендикулярные главные площадки, в каждой из которых действует одно главное напряжение. Между главными напряжениями установлено соотношение
(3.6)
где
- наибольшее главное напряжение;
- среднее главное напряжение;
-
наименьшее главное напряжение.
Главные напряжения определяют из характеристического уравнения [ 7 ]
(3.7)
где
- первый, второй и третий инварианты
напряженного состояния.
Инварианты определяют из соотношений:
(3.8)
(3.9)
(3.10)
В
уравнениях (3.8) − (3.10)
- известные напряжения, действующие в
трех взаимно перпендикулярных площадках,
проходящих через рассматриваемую точку
деформированного тела.
Главные напряжения характеризуют физическое состояние упругого тела и поэтому их величина не зависит от выбора системы отсчета (координатных осей). При поворотах осей они сохраняют для данной точки упругого тела постоянную величину. Поэтому названы инвариантами, т. е. при заданной внешней нагрузке их величины постоянны и определяются выражениями (3.8) − (3.10).
Положение главных площадок вычисляют из соотношений [ 7 ]
(3.11)
Здесь
- направляющие косинусы нормали vi
к главной площадке, где действует главное
напряжение
(
или
,
или
).
Нормали
к главным площадкам образуют систему
трех взаимно перпендикулярных осей,
называемых главными осями напряженного
состояния в точке упругого тела. Показано
в [ 7 ], что решением кубического уравнения
(3.7) всегда являются вещественные значения
.
Область допустимых значений нормальных и касательных напряжений в произвольных площадках определяют на основании анализа соотношений
(3.12)
с
помощью круговых диаграмм Мора. Эти же
диаграммы позволяют отыскивать
экстремальные значения
и
,
которые могут быть достигнуты в любой
точке упругого деформированного тела.
В частности, показано, что
(3.13)
Рассмотрение
уравнения (3.7) при различных значениях
входящих в него инвариантов
приводит
к детальному анализу частных случаев
трехосного (объемного) напряженного
состояния:
а) двухосного (плоского),
б) одноосного (линейного).
Тензор напряжений, оценивающий физическое состояние упругого деформированного тела, представляют в виде
(3.14)
В выражении (3.14) введены следующие обозначения:
– шаровой
тензор напряженного состояния; (3.15)
– тензор-девиатор
напряженного
состояния
(3.16)
где
(3.17)
Такое представление тензора напряжений позволяет рассматривать процесс деформирования состоящим из двух взаимосвязанных явлений – изменения объема тела (всестороннее растяжение или сжатие), которое оценивается составляющими шарового тензора, и изменения формы тела (линейные и угловые деформации) – оценивается с помощью составляющих тензора–девиатора [ 7 ].