Деякі відомості про згин

Згином називають такий вид деформації, коли під дією зовнішніх сил у поперечних перерізах стержня виникають згинаючі моменти.

Якщо згинаючий момент в перерізі є єдиним силовим фактором, а поперечні та нормальні сили відсутні, згин називається чистим. Якщо в поперечних перерізах стержня разом із згинаючими моментами діють і поперечні сили, згин називається поперечним.

Прямолінійний стержень,який працює на згин, називається балкою. З точки зору розрахунку на міцність, жорсткість та стійкість балками вважаються не тільки будівельна балка, але також і вал, гвинт, вісь залізничного вагона, зуб шестерні і т. ін.

Опори і опорні реакції

Як правило, балки мають ті чи інші опорні конструкції – опори. Конструктивні форми опор дуже різноманітні. Для розрахунку їх схематизують у вигляді трьох основних типів опор (Рис.2):

• шарнірно-рухома опора, в якій може виникати тільки одна складова реакція – R_y, що направлена перпендикулярно напряму рухомості (Рис.2.а) ;

• шарнірно-нерухома опора, в якій можуть виникати дві складові – вертикальна R_y і горизонтальнаR_x (Рис.2.б);

• жорстке защемлення (затиснення), де можуть бути дві складові реакції – вертикальна R_y, горизонтальна R_x і реактивний момент Mc (Рис. 2.в).

Всі реакції і момент вважається прикладеними в центрі ваги опорного перерізу. Балка називається простою (одно прольотною, двохопорною) якщо вона має закріплення в двох точках у вигляді рухомого та нерухомого шарніру.

Консоллю називається балка, яка защемлена однім кінцем і не має інших опор, або частина балки, що звисає за опори.

Рис. 2 – Опори балок.

Приклад розрахунку

Консольна балка, виконана з сталевого профілю «двотавр». Навантаження складається з моменту М і двох сил:F₁ та F₂. Сила F₂ діє під кутом α. Лінійні ділянки балки мають довжину l. Опора A– нерухомий шарнір. Опора B – рухомий шарнір.

Рис. 3 – Схема балки.

Вихідні дані: M = 40 кНм; F₁ = 60 кН; α = 60˚; l = 2м; F₂ = 40 кН; профіль-двотавр.

Розрахунок

1. Балка є нерухомою, тоді з умови її рівноваги під дією прикладеного навантаження та реакцій опор можливо визначити ці реакції.

2. Запроваджуємо систему координат Z,Y. Звільняємо балку від в’язів і замінюємо їх реакціями R_AZ, R_AY, R_BY (невідома реакція R_A розкладена на дві складові R_AZ та R_AY, а реакція опори B – R_BY має лінію дії вздовж осі Y, тобто перпендикулярно напрямку рухомості опори (Рис – 4.а).

Рис.4 (а,б,в) – Схема навантаження балки та епюри поперечних силі згинальних моментів.

3. Рівняння рівноваги мають вигляд:

Σ F_Zi=0; R_AZ – F₂cosα = 0 (1)

Σ M_A = 0; –M – F₁·l + R_BY 2·l– F₂ 3·lsinα = 0 (2)

Σ M_B= 0; –M – R_AY 2·l + F₁·l – F₂·lsinα = 0 (3)

4. Розв’язуємо рівняння :

R_AZ = F₂cos α = 40cos60˚ = 20кН

R_BY =

R_AY = кН.

Перевірка:Σ F_y =0 = R_AY – F₁ + R_BY – F₂ sin α = 2,68–60+91,96–34,63 0

5. Будуємо епюру поперечних сил починаючи з лівого кінця балки (Рис.4.б) (напрям осі Yприйнято за позитивний).

6. Будуємо епюру згинальних моментів (Рис. 4.в). Побудову також починаємо з лівого краю, де прикладений момент M= 40 кНм. Використовуємо правило знаків: «момент, який згинає балку опуклістю до гори, вважаємо від’ємним і навпаки».

Поперечні перерізи балки позначимо номерами: 1, 2, 3, 4, 5.

• Ділянка балки між перерізами 1 і 2 навантажена моментом

M= 40кНм.

• Переріз 3 навантажений згинальним моментом

M₃ = M + R_AY·l= 40+2,68·2=45,36 кНм.

• Переріз 4 навантажений згинальним моментом

M₄ = M + R_AY 2·l –F1l= 40+2,68·2·2-60·2 = -69,28 кНм.

• Переріз 5 навантажений нульовим згинальним моментом.

7. Небезпечним, де діє максимальний за модулем згинальний момент є переріз 4 (M₄ = 69,28 кНм.)

8. За умови міцності матеріалу балки на згин визначаємо величину потрібного моменту опору перерізу та номер профілю двотавра.

Для прокату зі сталі (Ст.3 )прийнято брати допустимі напруження :

[ ] = 150 Мпа і[ = 100 Мпа, (1 МПа = 1).

Таким чином, момент опору потрібного перерізу з умови забезпечення міцності дорівнює: або

По таблиці сортаменту [3] підбираємо двотавр №30, у якого

B = 6,5 – товщина стінки. (Рис. 5)

Рис. 5 Переріз двотаврової балки.

9. Визначаємо максимальні розрахункові напруження

• нормальні напруження від згину

• дотичні напруження від дії поперечних сил.

Для цього використовуємо формулу Журавського [2] :

де Q_max = 57.32 кН – найбільша поперечна сила (див. епюру поперечних сил);

S_X – статичний момент половини перерізу;

I_x – момент інерції перерізу;

B – товщина вертикальної стінки.

тобто

Таким чином, розміри перерізу балки задовольняють умовам міцності як за нормальними, так і за дотичними напруженнями. З розрахунку видно, що максимальні дотичні напруження майже у 5 разів менше за поперечні, тому зазвичай ними нехтують.