§ 4.4. Диференціальні рівняння простих рухів.

З “Кінематики” відомо, що до простих рухів твердого тіла відносяться поступальний рух і обертальний рух навколо нерухомої осі.

П ри поступальному русі всі точки тіла рухаються однаково. Тому диференціальні рівняння руху центра мас тіла є диференціальними рівняннями поступального руху тіла. Спроектувавши векторну рівність (3.3) на осі координат, маємо

Таким чином, рівняння (4.10) – динамічні рівняння поступального руху твердого тіла.

Отримаємо динамічне рівняння обертального руху тіла навколо нерухомої осі, скориставшись теоремою (4.9), враховуючи (4.7)

Я кщо ,то маємо

Індекс “е” можна опустити і в рівняннях (4.10) і в (4.11), бо йдеться про сили, що діють на тіло, звичайно, ззовні.

Р івнянню (4.11) можна придати інших форм, враховуючи, що

§4.5. Динамічні рівняння плоско–паралельного руху твердого тіла.

Я к відомо, з розділу “Кінематика”, замість вивчення плоско–паралельного руху тіла, вивчають рух тіла площиною, паралельною основній нерухомій площині Н, тобто перерізу S в своїй площині.

П

Плоский рух в пл. Оху

Поступальний рух разом з полюсом

Обертальний навколо осі, яка проходить через полюс, перпендикулярно пл. Оху.

ри вивченні динаміки плоского руху за полюс вибирають точку С – центр мас тіла. Вісь Сz, відносно якої відбувається обертальний рух, є рухомою.

Динамічні рівняння поступального руху ми вже маємо, це рівняння (4.10). Скористатись динамічними рівняннями обертального руху (4.11¹¹) нема підстави, бо вісь Сz при плоскому русі є рухомою віссю. Тому розглянемо наступну теорему.

§4.5.1. Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи при відносному русі.

Р озглядаємо рух механічної системи відносно двох систем координат: О₁х₁у₁z₁ – нерухомої та Схуz – рухомої, що рухається поступально по відношенню до нерухомої системи координат О₁х₁у₁z₁ (така система координат називається Кьоніговою).

Т оді, як відомо, абсолютна швидкість кожної точки є векторна сума переносної швидкості (вона дорівнює швидкості точки С) та відносної швидкості точки .

Р адіуси–вектори “к”–ої точки зв’язані такою формулою

В изначимо кінетичний момент механічної системи, яка складається з “n” точок, відносно центру О

П окажемо, що два середніх доданки дорівнюють нулеві, через те, що (дивись формулу (2.1)), а радіус–вектор центру мас відносно самого себе (т.С) дорівнює нулеві. З тієї ж причини . Тоді

Т ут . Згадаємо формулу (4.8) і візьмемо похідну по часу від лівої і правої частин формули (4.12). Тоді маємо

В лівій частині рівності (с) запишемо суму моментів сил – відносно точки О, згадавши означення вектору – моменту сили відносно точки (розділ “Статика”), а саме , де . Тоді (с) має такий вигляд, якщо : , або

Теорема. Похідна по часу від кінетичного моменту механічної системи при її відносному русі відносно центру мас геометрично дорівнює головному моментові зовнішніх сил, що діють на систему, відносно центру мас (мається на увазі відносний рух по відношенню до Кьонігової системи координат).

С проєціювавши (4.13) на вісь, що проходить через точку С, наприклад Сz, отримаємо

Порівняйте з (4.8).