Тема 8. Аналітична механіка в узагальнених координатах.

Література [1] §125 – 128.

[2] Гл.6 §5 – 9.

§ 8.1. Узагальнені координати.

Ми вже знаємо, що можливих переміщень системи можна задати багато і серед них є незалежні. При цьому ми часто користувалися декартовими координатами. Лагранж запропонував інші координати незалежні – узагальнені, в яких рівняння рівноваги і рівняння руху виражаються через узагальнені сили, а не в вигляді рівнянь робіт.

Означення. Узагальненими координатами називається сукупність незалежних між собою параметрів, які однозначно визначають положення об’єкту в просторі.

Позначають q_i, , і – номер узагальненої координати. Узагальнені координати можуть бути: відстані, кути, площі, об’єми, параметри електромагнітного поля та інше.

Д ля голономних в’язей узагальнених координат скільки? А скільки незалежних координат? (відповідь: стільки, скільки ступенів вільності). Тому, якщо “р” – число ступенів вільності, то q₁,q₂,..q_P - всі незалежні! Що вибрати за узагальнену координату? Тобто яким параметром задати положення механізму?

П риклад 1:

Давайте спробуємо в системі координат Оху за узагальнену координату взяти х_А . Годиться? Ні, бо це не однозначно, є ще положення механізму коли т.А знаходиться в положенні А’, х_А’=х_А .Теж саме можна сказати про у_А (бо А’’ – зовсім інше положення, але у_А=у_А’’), або про х_В. Виявляється, що тільки кут однозначно задає положення механізму ( q₁= - узагальнена координата).

Приклад 2. Еліптичний маятник складається з тіла А, що може ковзати вздовж поверхні, і кульки В, з’єднаної з тілом А стержнем, що кріпиться шарніром до тіла А.

У загальнені координати можуть бути:

, або , або

Узагальнені координати – незалежні і однозначно визначають положення системи у просторі.

За аналогією до звичайних понять швидкості і прискорення маємо:

- узагальнена швидкість,

- узагальнене прискорення.

Одиниці їх вимірювання узгоджені з одиницями вимірювання узагальнених координат.

О скільки наша мета отримати принципи механіки в узагальнених координатах, ми будемо говорити про можливу роботу, можливі переміщення. Можливі переміщення раніше , ; тепер . Через те, що радіус-вектор “к”-ої точки є функція узагальнених координат для стаціонарних в’язей , то варіація дорівнює

- зв’язок між можливими переміщеннями і .

§ 8.2. Узагальнені сили.

Розглянемо механічну систему, що складається з “n” матеріальних точок і має “р” ступенів вільності. Нехай - рівнодійна сил, що діють на “к”-ту точку. Надамо системі деяке можливе переміщення і визначимо можливу роботу всіх діючих на систему сил на цьому переміщенні

В раховуючи залежність (8.1), маємо

З мінимо порядок підсумовування

Я кщо порівняти (б) з (а), то бачимо, що обидві вони визначають роботу діючих на систему сил і можна зробити висновок, що вирази, які знаходяться в дужках рівність (б) відіграють роль сил, бо - можливе переміщення. Узагальнену силу позначають Q_i і вона дорівнює

М аємо можливу роботу в узагальнених силах

Висновки:

1. Узагальнена сила є скалярною величиною.

2. Кожній узагальненій координаті відповідає своя узагальнена сила, тобто скільки узагальнених сил? (Відповідь. Стільки, скільки узагальнених координат, а значить скільки ступенів вільності має об’єкт вивчення).

№ п/п	q	[q]	Q	[Q]
1.	Відстань,	м	Сила,	Н
2.	Кут,	рад	Момент,	Нм
3.	Площа,	М2	Інтенсивність,	Н/м

3 . Одиниці виміру узагальнених сил диктуються одиницями виміру узагальнених координат.

Для визначення узагальненої сили на практиці формула (8.2) звичайно не підійде.