Розділ “Загальні теореми динаміки”.

Тема 3. Перша загальна теорема динаміки: про зміну кількості руху, або про рух центру мас системи.

Загальна теорема динаміки встановлює зв’язок між динамічними мірами руху та мірами взаємодії.

Д инамічні міри руху ? Міри взаємодії

Кількість руху ( ) – перша динамічна міра (бо кількість) руху.

§ 3.1. Кількість руху точки, системи.

а) Для точки

Маємо матеріальну точку маси m, що рухається зі швидкістю

- кількість руху точки.

б) Для системи, яка складається з n точок:

К ожна точка має свою кількість руху:

О тримаємо геометричну суму

Згадаємо точку С – центр мас систем (Рис.2.1)

М – маса всієї системи. Тоді, . Візьмемо похідну по часу:

П орівняйте (3.1) з (*). Маємо

- швидкість центру мас.

Означення: Кількість руху механічної системи – це є геометрична сума кількостей руху елементів цієї системи. Вона дорівнює добуткові маси системи на швидкість центру мас.

Приклад.

М аємо тіла з однаковою масою

§3.2 Теорема про зміну кількості руху (теорема імпульсів).

Нас цікавить залежність

Розглянемо рух М.С, що складається з “n” точок. На кожну точку системи діють сили - рівнодійна зовнішніх сил, - рівнодійна внутрішніх сил.

З апишемо основний закон динаміки матеріальної точки масою

Складемо ліві і праві частини цих “n” рівнянь.

,

=0, за властивістю (2.5) внутрішніх сил.

Враховуючи формулу (2.1), та двічі продиференціювавши її по часу, маємо

, тобто

П орівнюючи (а) і (б), отримаємо:

Т еорема про рух центру мас.

Теорема. Добуток маси всієї системи на прискорення її центру мас дорівнює геометричній сумі зовнішніх сил, які діють на систему.

Порівняйте (3.3) з основним законом динаміки точки !

Через те, що прискорення точки С замість (3.3) маємо

(3.4) - Диференціальна форма теореми про зміну кількості руху.

Теорема. Перша похідна від кількості руху механічної системи по часу дорівнює геометричній сумі зовнішніх сил, що діють на систему.

Проінтегруємо: якщо

;

І нтегральна форма теореми

Теорема. Зміна кількості руху М.С. за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів зовнішніх сил, що діють на систему, за цей же проміжок часу.

Ця теорема є базовою в механіці суцільного середовища, в теорії удару, в механіці тіла змінної маси.

§ 3.3 Закон збереження кількості руху механічної системи ( частинний випадок теореми).

Якщо система ізольована, або така, що головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулеві, тоді

Якщо

Якщо головний вектор зовнішніх сил, які діють на систему, або його проекція на одну із осей дорівнює нулеві, то кількість руху системи або її проекція на цю вісь є величина постійна.

Приклад 1. Чому людина не може йти по абсолютно гладенькій поверхні?

П риклад 2. Якщо до нерухомого вільного твердого тіла прикласти пару сил, то що буде з цим тілом далі?

В ідповідь: