§ 14.2. Інтегрування диференціального рівняння руху. Закон руху.

Диференціальне рівняння (14.2) – ЛНДР – лінійне неоднорідне диференціальне рівняння ІІ порядку з постійними коефіцієнтами. Його розв’язок

Де: – загальний розв’язок однорідного рівняння

Згадаємо тему 11, – залежить від співвідношення між n та ω.

Р озглянемо випадок малого опору n<ω, тоді

де

– частинний розв’язок рівняння (14.2), вид якого диктується його правою частиною. В даному випадку

Ч ерез те, що з часом власні коливання зникають (бо є співмножник ), можна вважати, що залишаться тільки вимушені коливання, тобто частинний розв’язок

З найдемо постійну В. Для цього підставимо (14.5) в (14.2), отримавши похідні

Праву частину рівняння (14.2) перетворимо так Після підстановки в рівняння (14.2), маємо

М аємо, зібравши коефіцієнти при та при :

М ожна вважати, що для t далекого від початкового

Аналізуючи (14.8) відмітимо властивості вимушених коливань.

§ 14.3. Властивості вимушених коливань.

1. Навіть при наявності опору вимушені коливання носять періодичний, незатухаючий характер.

2. Частота і період вимушених коливань дорівнюють частоті і періоду збурюючої сили.

3. Амплітуда В (формула (14.6)) і початкова фаза ε (формула (14.7)) не залежать від початкових умов, а залежать від: вихідних параметрів а і с, частоти р збурюючої сили та сили опору. Амплітуда залежить ще від амплітуди збурюючої сили Н.

4. Навіть при резонансі (ω=р) при наявності лінійного опору амплітуда має конкретне значення В≠∞. і не змінюється.

Далі розглянемо окремо важливе для інженерної практики питання.

§ 14.4. Залежність амплітуди та фази вимушених коливань від частоти та фази збурюючої сили.

Розглянемо більш детально формулу амплітуди вимушених коливань.

Перетворимо (14.6) так: поділимо на ω² чисельник і знаменник

П означимо:

– коефіцієнт розладнання,

– відносний коефіцієнт опору,

n <ω, 0<d<1

- коефіцієнт динамічності.

З’ясуємо зміст . Якщо на систему діє постійна сила Н, що дорівнює максимуму збурюючої сили, тоді . Частинний розв’язок , , , , – відхилення системи в положенні рівноваги під дією постійні сили, що дорівнює амплітуді збурюючої сили Тоді – відношення динамічної амплітуди до статичної називають: коефіцієнт динамічності.

З амість задачі залежність В(р) вивчимо залежність λ(z) коефіцієнта динамічності від коефіцієнта розладнання. Покажемо графік функції (14.9).

Дослідимо знаменник на екстремум. Для цього отримаємо похідну , ,

П рирівняємо , тобто знайдемо значення z при яких буде екстремум

Висновки.

1. При наявності лінійного опору найбільше значення λ досягає не при z=1, тобто не при резонансі, а при z<1, якщо , а саме при

2. Чим менший опір d, тим більша λ_max. λ зростає тим швидше, чим менше d.

3. Для великих частот збурюючої сили амплітуда вимушених коливань невелика.

4. Сили опору мають вплив на амплітуду лише поблизу резонансної зони, розміром в 30%.

5. Для частот, що знаходяться за тридцятипроцентною резонансною зоною, вплив сил опору малопомітний. Тобто для z<0,7; z>1,3, коефіцієнт динамічності λ≤2.

6. Для d>0,7 максимальне значення амплітуди дорівнює її статичному значенню, і резонансу не буває.

Дослідимо зсув фаз вимушених коливань відносно збурюючої сили, тобто формулу(14.7)

Д ля z<1

Д ля z=1

Д ля z>1

Звертаю увагу на те, що як і в випадку відсутності лінійного опору (рис.13.5) так і при наявності малого лінійного опору (рис.14.2) зсув фаз при резонансному дорівнює π/2.