§ 13.4. Властивості вимушених коливань.

В имушені коливання це ті, що відбуваються з частотою збурюючої сили, тобто р. Закон вимушених коливань – це власне q*.

Властивості:

1). Рух гармонійний, періодичний з частотою р збурюючої сили.

2). Амплітуда – залежить від параметрів системи с і а (бо ) і від параметрів збурюючої сили Н, р.

Д ослідимо формулу амплітуди більш детально, а саме винесемо з знаменника ω².

де – назвемо коефіцієнтом розладнання (расстройки на рос. мові).

В ведемо поняття коефіцієнта динамічності

де – коефіцієнт динамічності.

3 ). Якщо p→ ω, А_вим прагне до нескінченності. Якщо p<< ω, А_вим малі, тобто збурюючі сили з великими частотами безпечні.

На рис. 13.3 випадкові резонансу відповідає одна точка (коли z=1), δ=π/2

Побудуємо графік залежності модуля амплітуди вимушених коливань від коефіцієнту розладнання

Р озглянемо зсув фази коливань по відношенню до збурюючої сили. Для цього перепишемо вирази збурюючої сили і закону вимушених коливань.

1) Якщо р<ω, А_вим.>0, максимуму сили відповідає максимум координати. На рис. 13.4 суцільна лінія – Q^зб., пунктирна q_вим..

2) Якщо p> ω, – координата з силою в противофазі. Тобто має місце залежність на рис. 13.5

Ми розглянули закон і властивості руху для випадку, коли р≠ω, тобто частота збурюючої сили і частота власних коливань не співпадають.

§ 13.5. Випадок резонансу.

Ц е випадок, коли p=ω (частоти збурюючої сили і власних коливань співпадають). В цьому випадку розв’язок диференціального рівняння руху (13.4) шукають в іншому вигляді, а саме

Ч ерез те, що (13.12) – розв’язок рівняння (13.4), підставимо його в це диференціальне рівняння, отримавши спочатку похідні

П ісля підстановки маємо , тобто .

Тоді (13.12):

З агальний розв’язок згідно (13.5)

З вичайно, останній доданок зростає з часом, його графік і побудуємо

Це косинусоїда з змінними зростаючими амплітудами.

Властивості руху:

1. При резонансі коливання відбуваються з наростаючою за законом арифметичної прогресії амплітудою.

2. Порівняємо фази сили і координати

координата ;

сила .

Ф ази відрізняються на , тобто якщо сила досягає максимуму, координата – мінімуму і навпаки. На рис. 13.7 знову суцільна лінія – збурюючи сила, пунктирна – координата.

Тема 14. Вимушені коливання механічної системи з одним ступенем вільності з врахуванням лінійного опору.

Література: [2] Гл. 7. §2.

[4] Гл. 2.5.

[3] §6–8.

§ 14.1. Постановка задачі.

Система має один ступень вільності. Вивчаємо рух механічної системи поблизу положення стійкої рівноваги. На систему діють сили:

– потенціальні;

– сили лінійного опору;

– збурюючі сили. Ми отримали узагальнену збурюючу силу

Н – амплітуда сили;

δ – початкова фаза;

р – частота сили.

С кладаємо диференціальне рівняння руху, скориставшись рівнянням Лагранжу ІІ роду. q – узагальнена координата. Наближені значення кінетичної і потенціальної енергії а, с – коефіцієнти інерції та жорсткості, відповідно. Дисипативна функція , b – узагальнений коефіцієнт опору. Рівняння Лагранжу ІІ роду має вигляд (10.3)

Знайдемо похідні: , , ,

Тоді (14.1) має вигляд .

Поділимо на а і введемо позначення , , (*)

Д иференціальне рівняння руху