§ 12.5. Аперіодичний рух

П родовжимо розгляд випадків коренів характеристичного рівняння (12.9). Якщо , то корені - дійсні. Як відомо, в цьому випадку . В залежності від початкових умов, можливі три види графіків q(t) : 1, , , 2, 3 – якщо ,

Р ух не є коливальним, тому його називають аперіодичним

Якщо , характеристичне рівняння (12.9) має один кратний від’ємний корінь . Розв’язок рівняння (12.8) в цьому випадку має вигляд

При , при любих С₁ та С₂, бо

Таким чином, і при (великий опір) і при (критичний опір) рух не є коливальним і система асимптотично прагне повернутись в положення рівноваги.

Схематично наявність опору показують в вигляді демпфера (посудина з рідиною і поршнем)

Тема 13. Вимушені коливання механічної системи з одним ступенем вільності (без врахування опору).

Література: [2] Гл. 7. §2.

[4] Гл. 11.3.

[3] §6–8.

§ 13.1. Постановка задачі.

Вимушеними називають коливання під дією: зовнішніх періодичних сил, або періодичних переміщень.

В першому випадку кажуть про силове збудження. Наприклад. В практиці віброобробки застосовується вібромашина (Рис. 1.). Мета: відшліфувати деталі, зняти з них заусениці. За рахунок ексцентрика, маса якого m, створюється збурююча сила F=mω²l , проекції якої на осі координат – періодичні функції аргументу ωt; наприклад F_y=mω²lsin(ωt+δ).

П рикладом кінематичного збудження є хвилеподібна форма дороги (Рис. 13.2).

Р озглядаються малі рухи механічної системи поблизу положення стійкої рівноваги. Діють сили: крім потенціальних, збурюючі періодичні. Нехай узагальнену силу, що відповідає вибраній узагальненій координаті q ми визначимо

де Н – амплітуда, р – частота, δ – початкова фаза узагальненої збурюючої сили.

Кінетична і потенціальна енергії системи мають вигляд

а – коефіцієнт інерції,

с – коефіцієнт жорсткості.

Згадаємо метод вивчення коливань (§ 10.3):

1. Скласти диференціальні рівняння руху;

2. Проінтегрувати диференціальні рівняння руху;

3. Вивчити властивості руху.

§ 13.2. Диференціальне рівняння вимушених коливань.

С користаємось рівнянням Лагранжу ІІ роду (§ 10.3), де Q^{непотенц.} – є узагальнена збурюючи сила.

П охідні ми знаходили раніше , . Узагальнена потенціальна сила дорівнює , . Таким чином, маємо

П оділимо ліву і праву частини рівняння (13.3) на коефіцієнт інерції а та введемо позначення: (згадаємо що ω – це частота власних коливань).

Т оді диференціальне рівняння має вигляд

§ 13.3. Рівняння (закон) руху.

О тримаємо, проінтегрувавши (13.4). Що це за рівняння з точки зору математики? Відповідь: ЛНДР – лінійне неоднорідне диференціальне рівняння ІІ порядку з постійними коефіцієнтами. Його загальний розв’язок є сума розв’язків

де: – загальний розв’язок однорідного рівняння;

– частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

ми вже знайшли в темі 11 (дивись формулу (11.4))

Вигляд залежить від виду правої частини. Якщо pω, то q*=Bsin(pt+δ).Щоб знайти постійну В треба підставити q* в рівняння(13.4), враховуючи, що . Маємо, прирівнявши коефіцієнти при sin(pt+δ)

т обто

З акон руху, згідно з (13.5) має вигляд

З початкових умов визначимо постійні С₁ та С₂. Для цього отримаємо швидкість в довільний момент часу.

П ри t=0

Звідси:

М аємо закон руху з врахуванням початкових умов

П ам’ятаємо, що

Висновок з формули (13.9)

Власні коливання складаються з двох рухів:

– амплітуда першого з них (перші два доданки) залежить від початкових умов;

– амплітуда другого руху залежить як від параметрів системи (бо ) так і від параметрів збурюючої сили Н, р, δ.

Цікавий факт! Навіть при нульових початкових умовах власні коливання з частотою ω мають місце.