§ 11.2. Закон малих власних вільних коливань.

Як розв’язати це ЛОДР з постійними коефіцієнтами? (Відповідь) Складаємо характеристичне рівняння . Його корені .

Т ому розв’язок рівняння (11.3) має такий вигляд

Як знайти постійні інтегрування С₁ і С₂ ? (відповідь) З початкових умов.

Початкові умови: початкова координата , та початкова швидкість . Знайдемо швидкість в довільний момент часу

Т епер підставимо початкові умови

М аємо

§ 11.3. Властивості руху.

Д осліджувати властивості руху краще всього маючи графік зміни координати q від часу. Щоб побудувати графік функції (11.4) треба будувати суму синусоїди і косинусоїди, що не дуже просто. Перейдемо до так званої амплітудної форми запису рівняння руху (11.4). Для цього введемо нові постійні А і α. Нехай:

Тоді: , .

Т епер (11.4) має такий вигляд , тобто

– амплітудна форма запису закону руху, де

, або ,

П обудуємо графік функції (11.6)

Звичайно це синусоїда. При t=0, q₀=Asin α. α, що визначається формулою (11.8), називається початкова фаза коливань.

Узагальнена координата (11.6) змінюється за законом синуса (або косинуса), який є періодичною функцією аргументу t з періодом 2π. тобто

– період коливань.

В еличина обернена до періоду – частота коливань, кругова частота – це число коливань за 2π сек. Враховуючи, що ми вводили позначення (11.4) маємо: кругова частота дорівнює

Основні властивості власних коливань.

1. Якщо на систему, що рухається поблизу положення стійкої рівноваги, діють тільки потенціальні сили, і кінетична та потенціальна енергії мають вигляди (10.5) та (10.7), то рух гармонійний і говорять, що це власні лінійні коливання.

2. Амплітуда цих коливань (максимальне відхилення) А – величина постійна і визначається початковими умовами ( , ) та вихідними параметрами системи с та а (формула (11.7)).

3. Період (частота) коливань також величина постійна, яка не залежить від початкових умов (формули (11.10) та (11.9)). Величини періоду і частоти диктуються тільки параметрами жорсткості с та інертності а. Ця властивість називається ізохронністю коливань.

4. Власні лінійні коливання можуть виникнути тільки не при нульових початкових умовах ( , або )і продовжуються нескінченно довго.

Насправді ж коливання затухають, бо в техніці треба враховувати сили опору.

Тема 12. Вплив лінійного опору на лінійні власні коливання системи з одним ступенем вільності.

Література[2] Гл. 7 § 2.

[4] § 11.3

[3] § 9

§ 12.1. Узагальнена сила опору. Функція Релея.

Нехай на кожну точку системи діє сила опору, яка залежить від першого ступеня швидкості точки.

де - коефіцієнт опору середовища.

Визначимо узагальнену силу опору, скориставшись формулою узагальненої сили (8.2)

П ідставимо значення сили опору (12.1), а також врахуємо тотожність Лагранжа

Тоді

Введемо функцію Релея, яка вперше була запропонована Джоном Релеєм в 1878 р. в книзі “Теорія звуку”

Тоді узагальнена сила опору має вигляд

Узагальнена сила опору, що відповідає “і”- тій узагальненій координаті, дорівнює взятій з протилежним знаком частинній похідній по відповідній узагальненій швидкості від функції Релея.

Функція Ф за своєю структурою аналогічна кінетичній енергії, де замість мас точок m_k стоять коефіцієнти опору β_k. Виразимо функцію Ф через та для системи з одним ступенем вільності, аналогічно кінетичній енергії

, де

З’ясуємо фізичний зміст функції Релея без доведення

При дії сил опору повна енергія механічної системи Е зменшується, розсіюється, тому функцію Ф називають ще функцією розсіювання.

Висновок. Подвійна функція Релея вимірює швидкість розсіювання повної механічної енергії.