§ 8.2.1. Практичний спосіб обчислення - “j”-ої узагальненої сили.

1). Задаємо можливі переміщення таким чином . Тобто фіксуємо всі координати крім “j”-ої. (Нагадаю, що всі - незалежні, тому можна задавати довільно).

2). Визначаємо суму можливих робіт активних сил на заданому переміщенні.

3 ). Тоді формула (8.3) має один доданок, тобто , і загальна сила дорівнює

зауважимо, що (додатна!))

Розглянемо приклад. На еліптичний маятник діють: сила , , - сили ваги тіл А і В, АВ=l. Узагальнені координати q₁=x, q₂=φ.

Визначити: - узагальнену активну силу, що відповідає координаті х;

- узагальнену активну силу, що відповідає координаті .

Покажемо активні сили , , .

1). - ?

Фіксуємо координату =const. Задаємо . Сума можливих робіт активних сил на цьому переміщенні дорівнює , тому

2). - ? Фіксуємо координату х=const, задаємо .

тому

§ 8.2.2. Обчислення узагальненої потенціальної сили.

В потенціальному стаціонарному силовому полі проекції потенціальної сили виражаються через потенціальну енергію таким чином:

А ле потенціальна енергія в стаціонарному полі – функція положення, тому . Застосуємо формулу (8.2), згадавши, чому дорівнює скалярний добуток двох векторів через координати цих векторів

Д ля потенціальних сил з врахуванням (*), маємо

т обто:

Узагальнена потенціальна сила дорівнює взятій з протилежним знаком частинній похідній від потенціальної енергії по відповідній узагальненій координаті.

Отримаємо принцип можливих переміщень та принцип Д’Аламбера–Лагранжа в узагальнених координатах, узагальнених силах.

§ 8.3. Принцип можливих переміщень в узагальнених координатах.

З гадаємо цей принцип. Розглядається механічна система, що знаходиться в рівновазі. На систему накладені голономні утримуючі ідеальні в’язі. Тоді сума можливих робіт активних сил дорівнює нулеві на будь-якому можливому переміщенні системи. І навпаки, якщо то механічна система при таких в’язях знаходиться в рівновазі. Враховуючи (8.3) перепишемо принцип

Б ачимо, що доданків в цій сумі менше, бо p<3n (р=3n-s). Але справа не тільки в кількості доданків. Справа в тому, що всі можливі переміщення - незалежні! Коли це можливо, щоб , якщо - довільні співмножники? Відповідь: якщо всі перші співмножники дорівнюють нулеві.

Рівняння рівноваги в узагальнених силах:

Для рівноваги механічної системи з голономними, утримуючими, ідеальними в’язями необхідно й достатньо щоб кожна узагальнена активна сила дорівнювала нулеві.

Рівнянь рівноваги складають стільки, скільки ступенів вільності має механічна система.

Розглянемо приклад. Визначити, якими повинні бути сили ваги , і в стані рівноваги, якщо відомі кути , . Нитка постійної довжини – нерозтяжна. Шарнір в точці О без тертя, похилі площини – гладенькі.

С истема має два ступені вільності. За узагальнені координати візьмемо: q₁=x₁, q₂=x₂. Рівняння рівноваги

Визначимо узагальнену силу за формулою (8.4). Для цього:

1). Зафіксуємо координату х₂=const, тобто x₂=0, і задаємо варіацію координаті х₁, x₁>0 (якщо х₂=const, то частина нитки , що тримає вантаж 2, нерухома, тому т.К – нерухома (v_k=0)).

2). Визначимо суму можливих робіт активних сил , і на можливому переміщенні x₁>0 , де s₃ – можливе переміщення точки С.

3 ). Узагальнена сила, що відповідає узагальненій координаті х₁ дорівнює

4 ). Можливе переміщення s₃ зв’язане з заданим можливим переміщенням x₁ співвідношенням таким самим, як і швидкості

тому

п ідставимо (г) в (в)

Враховуючи умову рівноваги (а), маємо

тому

Аналогічно можна показати, що .