§ 7.5. Принцип можливих переміщень.

Сучасне формулювання принципу можливих переміщень було дане Лагранжем в 1788 році в результаті узагальнення теорії найпростіших механізмів (важеля, похилої площини, блоків і т.п.). Тому його називають принципом Лагранжа. Цей вчений, написав книгу “Аналітична механіка”, в якій немає ні одного рисунка. Він писав: “Всі, хто любить математику з задоволенням дізнаються, що механіка – галузь математики”.

П ринцип Лагранжа: Для рівноваги механічної системи з геометричними двосторонніми, ідеальними, стаціонарними в’язями необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума можливих робіт всіх активних сил, що діють на систему, на будь-якому з її можливих переміщень дорівнювала нулеві, тобто

Необхідність. Нехай механічна система, що складається з “n” матеріальних точок, знаходиться в рівновазі і на неї накладені геометричні, утримуючі, ідеальні, стаціонарні в’язі. Позначимо:

- рівнодійна активних сил, що діють на „к”-ту точку,

- рівнодійна реакцій в’язей, що діють на „к”-ту точку.

О скільки система знаходиться в рівновазі, то кожна її точка також у рівновазі, а значить

Н адамо системі одне з можливих переміщень і позначимо переміщення “к”-ої точки - . Помножимо скалярна на кожну рівність (*).

Д одамо “n” рядків (**)

В раховуючи, що в’язі ідеальні, тобто має місце (7.9), в рівнянні (***) залишиться тільки перша сума

що і треба було довести.

Достатність (самостійно довести).

Увага! Рівнянь робіт (7.10) можна скласти стільки, скільки незалежних можливих переміщень, тобто скільки ступенів вільності має механічна система.

До речі, згадайте з курсу „Фізика” золоте правило механіки. Не впізнаєте його в (7.10’)?

§ 7.6. Застосування принципу можливих переміщень.

§ 7.6.1 Для визначення однієї з активних сил, що діють на систему з одним ступенем вільності.

Пропонується послідовність дій, проілюстрована для конкретної задачі.

З адача. Визначити, який момент треба прикласти до кривошипа 1 в кривошипно-шатунному механізмі щоб зрівноважити силу , прикладену до поршня 3. (Рис. 7.1) при заданому кутові . Механізм розташований в горизонтальній площині, в’язі ідеальні. ОА та АВ – відомі.

1) Вибираємо об’єкт вивчення.	1) Об’єкт вивчення – механічна система, що складається з тіл: 1, 2, 3.
2) З'ясовуємо вид в'язей та число ступенів вільності. Щоб з'ясувати число ступенів вільності для плоских механізмів: - зупиняємо одну ланку; - з'ясовуємо, чи всі ланки "зупинились"? - якщо всі – один ступінь вільності.	2) В'язі – геометричні, стаціонарні, ідеальні. Система має одну ступінь вільності. (Якщо "зупинити" кривошип 1, всі точки механізму зупиняться).
3) Показуємо на рисунку активні сили, які діють на систему.	3) Активні сили: пара сил з моментом М та сила (сили ваги ланок перпендикулярні до площини рисунка).
4) Надаємо системі можливе переміщення і складаємо рівняння (7.10).	4) Надаємо кривошипові 1 можливе переміщення проти ходу годинникової стрілки. Рівняння (7.10) має вигляд , або .
5) Для системи з одним ступенем вільності отримуємо залежності між можливими переміщеннями. До речі, ці залежності такі самі, як і для можливих швидкостей. Тому рівняння робіт (7.10') можна замінити рівнянням потужностей де - можлива швидкість точки прикладання сили .	5) Залежність між можливими переміщеннями отримали раніше (див. рис.7.1) При заданих геометричних параметрах ОА, ,АВ відношення переміщень легко отримати розглядаючи трикутники АВР, ОВР, та АОВ. Така ж сама залежність між швидкостями
6) Підставляємо залежності між можливими переміщеннями (або швидкостями) в рівняння (7.10') або (7.11) і враховуючи, що задане можливе переміщення довільне, отримуємо шукану силу, чи момент.	6) , , тому отримали шуканий момент М.