§6.2. Принцип д`Аламбера для механічної системи

Р озглянемо механічну систему, що здійснює деякий рух. Для кожної точки системи має місце рівняння (6.2)

к=1,2..n

рівнодійні активних сил і реакцій в’язей, що діють на “к”-ту точку, відповідно.

Д одамо “n” рядків (6.3):

П омножимо кожен із рядків (6.3) на радіус-вектор кожної точки відносно якогось нерухомого центру - т. О.

Що це за величина . Відповідь: це момент сили відносно точки О

Д одамо “n” – рядків (6.6), враховуючи (*). Маємо:

Згадаємо, що геометрична сума сил – це головний вектор сил, а геометрична сума моментів сил відносно довільного центру – це головний момент сил відносно цього ж центру. Тоді (6.5), (6.7) математично виражають принцип Д`Аламбера для механічної системи.

Принцип Д`Аламбера для системи. В кожний момент часу головний вектор і головний момент відносно деякого нерухомого центра всіх активних сил, реакцій вязей і умовно прикладених до точок механічної системи сил інерції, відповідно дорівнюють нулеві.

Як відомо, сили які діють на систему можна класифікувати як активні і реакції в’язей, або зовнішні і внутрішні (Рис. 6.2). Маємо ще одну форму запису принципа Д`Аламбера для механічної системи.

або

Ці векторні рівняння можна спроєціювати на осі координат. Будемо мати рівняння “рівноваги”. Рівновага в лапках, бо насправді система рухається! Кількість рівнянь залежить від того, яку систему сил маємо: просторову чи плоску, довільну, збіжну чи паралельну.

§6.3. Головний вектор і головний момент сил інерції.

Г оловний вектор сил інерції можна визначити не тільки як геометричну суму сил інерції точок системи, а скориставшись рівнянням (6.8)

т

або

а теоремою про зміну кількості руху М.С. формула (3.4) . Маємо:

Головний вектор сил інерції механічної системи дорівнює взятій с протилежним знаком похідній від кількості руху цієї механічної системи, або, взятому з протилежним знаком, добутку маси системи на прискорення центру мас.

Аналогічно, виходячи з (6.8) та теореми про зміну кінетичного моменту відносно центру т.О (формула (4.8)) отримаємо головний момент сил інерції відносно центру

Ч асто треба знати головний момент сил інерції відносно осі. Для цього треба спроєціювати (6.10) на вісь, наприклад Oz

§6.4. Головні вектори та головні моменти д’Аламберових сил інерції твердих тіл. (законспектувати самостійно).

Результати зведення Д’Аламберових сил інерції точок твердого тіла до простішого вигляду (метод Пуансо) маємо такі:

1. Поступальний рух тіла.

М – маса тіла.

2. Тіло, яке має площину симетрії, обертається навколо нерухомої осі, яка перпендикулярна площині симетрії.

Я кщо вісь обертання центральна, тоді:

3. Плоский рух тіла.

Т іло, що має площину симетрії і рухається паралельно цій площині.

Рекомендації по застосуванню принципу д’Аламбера (методу кінетостатики)

I. Для складання динамічних рівнянь руху практичних моделей механічних систем.

1). Вибирають об’єктами вивчення окремі тіла, з яких складається практична модель; на рисунках показують сили, які насправді діють на об’єкти і умовно прикладають Д’Аламберові сили інерції. Як бачили ми в § 6.4. для деяких випадків рухів симетричних тіл не треба прикладати сили інерції до кожної точки, бо вони заміняються голономними векторами та голономними моментами сил інерції.

2). Складають рівняння „рівноваги” зображених вище систем сил в аналітичній формі. Для цього вибирають осі координат таким чином, щоб реакції в’язей не входили в складені рівняння:

- при поступальному прямолінійному русі вісь спрямовують по швидкості тіла і складають рівняння проекцій формули (6.5) на цю вісь;

- при обертальному русі навколо нерухомої осі складають рівняння моментів відносно цієї осі, тобто проекцію формули (6.7) на вісь обертання;

- при плоскому русі складають і рівняння проекцій сил (6.5) на осі в площині руху і рівняння моментів (6.7) навколо осі, перпендикулярної до площини руху.

3). Виключають з складених в п. 2 невідомі реакції внутрішніх в’язей.

ІІ. Для визначення динамічних складових реакцій в’язей.

1). Вибирають той об’єкт вивчення, на який накладені в’язі, реакції яких нас цікавлять. Прикладають до об’єкту тільки реакції в’язей та Д’Аламберові сили інерції. Якщо маємо можливість (див. §6.4) звести сили інерції точок тіл до головних векторів і головних моментів то прикладаємо тільки їх (формули (6.12) – (6.15)). Якщо такої можливості нема, тоді зображають епюру сил інерції точок тіл.

2). Вибирають осі координат таким чином, щоб шукані складові реакцій в’язей ввійшли в складені нижче рівняння „рівноваги”, а саме: проекції на осі векторних рівнянь (6.5) та (6.7) в які не входять активні сили.

3). Розв’язують рівняння „рівноваги” відносно невідомих реакцій в’язей.

Зауваження. 1). Якщо треба визначати повні реакції (суму статичних і динамічних складових) тоді на схемах показують сили трьох класів: активних, реакцій в’язей і сили інерції і складають рівняння „рівноваги” (6.5) та (6.7).

2). Кількість рівнянь для кожного об’єкту залежить від виду системи сил, що на нього діє.