§5.4.2. Теорема в випадку системи з ідеальними в’язями.

Розглянемо рух механічної системи, на яку накладені в’язі, що не змінюються з часом. Якщо сума елементарних робіт реакцій в’язей, які накладені на систему, дорівнює нулеві такі в’язі називають ідеальними. (Загальне, більш точніше, поняття ідеальних в’язей буде визначено пізніше).

Приклади ідеальних в’язей

1). Абсолютно гладенька поверхня.

Р еакція перпендикулярна до поверхні, тому елементарна робота реакції дорівнює нулеві

2). Нерухомий шарнір без тертя.

Р еакція прикладена в нерухомій точці, тому нема переміщення

3). Нерозтяжна нитка, нерозтяжний стержень.

Е лементарна робота кожної реакції не дорівнює нулеві, а сума елементарних робіт реакцій в’язі дорівнює нулеві.

4 ). В’язь, що забезпечує кочення без ковзання.

С ила реакції поверхні прикладена в миттєвому центрі швидкостей, швидкість точки Р в кожну мить дорівнює нулеві.

Потужність реакції дорівнює , тому елементарна робота реакції також дорівнює нулеві.

Я к бачимо, це досить поширений клас в’язей. Якщо згадати про те, що всі сили, які діють на систему, можна поділити на активні сили та сили реакції в’язей, то теорема (5.18’) чи (5.19) в випадку ідеальних в’язей має такий вигляд

Сформулювати самостійно теорему в випадку ідеальних в’язей.

§5.5. Інтегральна форма теореми про зміну кінетичної енергії системи.

Якщо розглянути рух механічної системи на деякому переміщенні, тоді треба визначитись з тим, як змінилась кінетична енергія системи на цьому переміщенні.

П роінтегруємо формулу (5.18’). Границі інтегрування в правій частині диктуються формулами елементарних робіт (5.1), (5.2), (5.3) чи (5.5)

Теорема. Зміна кінетичної енергії механічної системи на деякому її переміщенні дорівнює сумі робіт зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на систему, на цьому ж переміщенні.

В випадку незмінної механічної системи в правій частині теореми (5.21) залишиться тільки . в випадку ідеальних в’язей тільки .

Т аким чином, маємо три загальні теореми динаміки в диференціальній формі

К ожна з перших двох теорем мала наслідки – закони збереження кількості руху, кінетичного моменту відносно центру (чи осі). Чи існує закон збереження кінетичної енергії? Такого закону нема, але є закон збереження механічної енергії. Механічна енергія дорівнює сумі кінетичної і потенціальної енергії.

§5.6. Теорема про зміну кінетичної енергії в випадку потенціального силового поля.

Означення. Силове поле – область простору, в кожній точці якої на матеріальний об’єкт діє певна сила, що залежить від координат і часу; якщо від часу не залежить - поле стаціонарне.

Потенціальним називають силове поле, робота сил якого не залежить від виду траєкторії руху точки.

З гадаємо формулу роботи при переміщенні з початкового положення в кінцеве

В иявляється, що для потенціального силового поля елементарна робота є повним диференціалом деякої силової функції U. Функція П, яка протилежна за знаком до силової функції, називається потенціальною функцією

Е лементарна робота потенціальної сили дорівнює повному диференціалу потенціальної функції поля, взятому з протилежним знаком

До потенціальних сил належать:

- сила ваги;

- сила пружності;

- сила тяжіння.

Т ому корисно знати теорему про зміну кінетичної енергії для потенціальних сил. Згадаємо теорему в інтегральній формі, підрахувавши роботу сил потенціального поля на деякому кінцевому переміщенні.

Означення. Значення потенціальної функції в деякій точці поля називається потенціальною енергією поля в даній точці.

В (5.22) - потенціальна енергія в початковій і кінцевій точках. Тоді (5.21), з врахуванням (5.22) має вигляд

Означення. Механічна система, на яку діють тільки потенціальні сили називається консервативною.

Отримана рівність (5.23) виражає теорему про зміну кінетичної енергії консервативної системи, яка читається так:

Теорема. Зміна кінетичної енергії консервативної системи на деякому її переміщенні дорівнює різниці потенціальних енергій в початковому і кінцевому положеннях системи.

З групувавши доданки з індексами “0” та “1”, (5.23) перепишемо в вигляді

т обто

Закон збереження механічної енергії:

Механічна енергія консервативної системи при її русі не змінюється.