§5.3.2. Кінетична енергія твердих тіл.

а) Тіло здійснює поступальний рух. Тоді, як відомо, швидкості усіх точок, з яких складається тіло, в кожну мить однакові. Швидкість “к”-ої точки дорівнює швидкості тіла.

М аємо, кінетичну енергію тіла, як суму кінетичних енергій точок, з яких воно складається , –маса тіла.

б ) Тіло обертається навколо нерухомої осі.

Кінетична енергія тіла – сума кінетичних енергій точок , але швидкість кожної точки дорівнює , тому ,

б о - осьовий момент інерції тіла.

в) Тіло здійснює плоско-паралельній рух.

Плоско-паралельний рух тіла, як відомо, є складний рух:

• переносний – поступальний разом з сисмтемою координат, яка рухається з швидкістю ;

• відносний – обертальний навколо осі, яка проходить через точку С.

З астосуємо теорему Кьоніга, враховуючи, що при відносному обертальному русі . Тоді

Кінетична енергія при плоско-паралельному русі – сума кінетичних енергій поступального руху разом з центром мас і обертального руху навколо рухомої осі, яка проходить через центр мас, перпендикулярно до основної площини.

Я к відомо, при плоскому русі в кожну мить існує точка, швидкість якої дорівнює нулеві – миттєвий центр швидкостей (точка Р). Тому, замість формули (5.15), можна скористатись формулою (5.14)

Де - момент інерції відносно осі Pz ; яка паралельна центральній осі Cz , тому , згідно теореми Гюйгенса – Штейнера.

§5.4. Теорема про зміну кінетичної енергії.

Вивчаємо рух теоретичної моделі механічної системи, що складається з “n” точок. Розглянемо рух матеріальної точки, яка належить до М.С.

Н

або

а неї діють сили: - зовнішня сила, - активна сила

- внутрішня сила, - реакція в’язі.

З апишемо основний закон динаміки точки

Ч ерез те, що нас цікавить, як зміниться кінетична енергія, яка залежить від швидкості , то перепишемо (а) враховуючи, що , і домножимо ліву частину на , а праву на . Маємо

а ле: , - елементарна робота сили . Тоді

Ц е має місце для всіх точок системи к = 1,2..n. Якщо додамо всі “n” рядків, отримаємо

- кінетична енергія системи.

Маємо

П оділимо (5.18) на :

бо - потужність сили .

Теорема. Похідна по часу від кінетичної енергії механічної системи дорівнює сумі потужностей сил, що діють на систему (зовнішніх та внутрішніх; або активних та реакцій в’язей).

З гадаємо дві попередні теореми

Бачимо, що зміни кількості руху та кінетичного моменту залежать тільки від зовнішніх сил. А кінетична енергія? Дивись формулу (5.19).

Є такі випадки, коли робота (чи потужність) внутрішніх сил дорівнює нулеві. Розглянемо ці випадки.

§5.4.1. Теорема в випадку незмінюваної механічної системи.

Я кщо відстань між точками механічної системи з часом не змінюється, то система називається незмінюваною (прикладом є тверде тіло).

Р озглянемо суму елементарних робіт внутрішніх сил та на елементарних переміщеннях точок 1 та 2, до яких вони прикладені та . В загальному випадку , а сума елементарних робіт сил та дорівнює

В нутрішні сили, як відомо, рівні за модулем, та протилежні за напрямком, тобто . Тоді маємо згадавши, чому дорівнює скалярний добуток векторів

Я к відомо з “Кінематики твердого тіла”, має місце теорема про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що їх з’єднує, тобто

Те ж саме має місце і для інших точок системи.

Висновок. В випадку незмінюваної механічної системи сума робіт усіх внутрішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулеві. Тому в формулі (5.18) залишиться робота тільки зовнішніх сил, а в (5.19) потужність тільки зовнішніх сил.